ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 654 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

На молодёжном карнавале Андрей купил билеты лотереи «Надежда» на 240 р. Если бы он потратил эти деньги на билеты лотереи «Удача», то смог бы купить на 4 билета больше, так как они были на 5 р. дешевле. Сколько стоил билет лотереи «Надежда»?

Пусть Андрей купил \( x \) билетов лотереи Надежда, тогда билетов лотереи удача он мог купить \( x + 4 \).

Составим уравнение:

\( \frac{240}{x} — \frac{240}{x+4} = 5 \)

\( 240(x+4) — 240x = 5x(x+4) \)

\( 240x + 960 — 240x = 5x^2 + 20x \)

\( 5x^2 + 20x — 960 = 0 \) \( | : 5 \)

\( x^2 + 4x — 192 = 0 \)

\( D = 16 + 4 \cdot 192 = 16 + 768 = 784 = 28^2 \)

\( x_1 = \frac{-4 — 28}{2} = \frac{-32}{2} = -16 \) — не подходит,

\( x_2 = \frac{-4 + 28}{2} = \frac{24}{2} = 12 \) (билетов) — лотереи Надежда.

\( 240 : 12 = 20 \) (руб) — стоил один билет.

Ответ: 20 руб.

Обозначим количество билетов лотереи Надежда, которые купил Андрей, через \( x \). По условию задачи, билетов лотереи удача он мог купить на 4 больше, то есть \( x + 4 \) билета. Общая сумма денег, которую Андрей потратил на билеты лотереи Надежда, составляет 240 рублей. Если бы он купил билеты лотереи удача вместо Надежды, то потратил бы также 240 рублей, но билетов было бы больше. Разница в цене одного билета между этими двумя лотереями составляет 5 рублей, то есть билет лотереи Надежда дороже на 5 рублей, чем билет лотереи удача.

Цена одного билета лотереи Надежда равна \( \frac{240}{x} \) рублей, а цена одного билета лотереи удача равна \( \frac{240}{x+4} \) рублей. Поскольку билет Надежды дороже на 5 рублей, мы можем составить уравнение: \( \frac{240}{x} — \frac{240}{x+4} = 5 \). Это уравнение выражает разницу в цене между билетами двух лотерей.

Приведём уравнение к общему знаменателю. Умножим обе части на \( x(x+4) \), чтобы избавиться от дробей: \( 240(x+4) — 240x = 5x(x+4) \). Раскроем скобки в левой части: \( 240x + 960 — 240x = 5x^2 + 20x \). После упрощения левой части получаем: \( 960 = 5x^2 + 20x \). Перенесём все в одну сторону: \( 5x^2 + 20x — 960 = 0 \). Разделим всё уравнение на 5, чтобы упростить коэффициенты: \( x^2 + 4x — 192 = 0 \).

Решим квадратное уравнение через дискриминант. Вычислим дискриминант по формуле \( D = b^2 — 4ac \), где \( a = 1 \), \( b = 4 \), \( c = -192 \): \( D = 16 + 4 \cdot 192 = 16 + 768 = 784 \). Заметим, что \( 784 = 28^2 \), поэтому \( \sqrt{D} = 28 \). По формуле корней квадратного уравнения находим: \( x_1 = \frac{-4 — 28}{2} = \frac{-32}{2} = -16 \) и \( x_2 = \frac{-4 + 28}{2} = \frac{24}{2} = 12 \).

Первый корень \( x_1 = -16 \) не подходит, так как количество билетов не может быть отрицательным числом. Второй корень \( x_2 = 12 \) является допустимым решением, поэтому Андрей купил 12 билетов лотереи Надежда. Теперь найдём стоимость одного билета, разделив общую сумму на количество билетов: \( 240 : 12 = 20 \) рублей. Таким образом, один билет лотереи Надежда стоит 20 рублей.

Проверим правильность решения. Если Андрей купил 12 билетов по 20 рублей, то он потратил \( 12 \cdot 20 = 240 \) рублей. Если бы он купил билеты лотереи удача, то их было бы \( 12 + 4 = 16 \) билетов, и каждый стоил бы \( 240 : 16 = 15 \) рублей. Разница в цене: \( 20 — 15 = 5 \) рублей, что соответствует условию задачи. Все условия выполнены, решение верно.Обозначим количество билетов лотереи Надежда, которые купил Андрей, через \( x \). По условию задачи, билетов лотереи удача он мог купить на 4 больше, то есть \( x + 4 \) билета. Общая сумма денег, которую Андрей потратил на билеты лотереи Надежда, составляет 240 рублей. Если бы он купил билеты лотереи удача вместо Надежды, то потратил бы также 240 рублей, но билетов было бы больше. Разница в цене одного билета между этими двумя лотереями составляет 5 рублей, то есть билет лотереи Надежда дороже на 5 рублей, чем билет лотереи удача.

Цена одного билета лотереи Надежда равна \( \frac{240}{x} \) рублей, а цена одного билета лотереи удача равна \( \frac{240}{x+4} \) рублей. Поскольку билет Надежды дороже на 5 рублей, мы можем составить уравнение: \( \frac{240}{x} — \frac{240}{x+4} = 5 \). Это уравнение выражает разницу в цене между билетами двух лотерей.

Приведём уравнение к общему знаменателю. Умножим обе части на \( x(x+4) \), чтобы избавиться от дробей: \( 240(x+4) — 240x = 5x(x+4) \). Раскроем скобки в левой части: \( 240x + 960 — 240x = 5x^2 + 20x \). После упрощения левой части получаем: \( 960 = 5x^2 + 20x \). Перенесём все в одну сторону: \( 5x^2 + 20x — 960 = 0 \). Разделим всё уравнение на 5, чтобы упростить коэффициенты: \( x^2 + 4x — 192 = 0 \).

Решим квадратное уравнение через дискриминант. Вычислим дискриминант по формуле \( D = b^2 — 4ac \), где \( a = 1 \), \( b = 4 \), \( c = -192 \): \( D = 16 + 4 \cdot 192 = 16 + 768 = 784 \). Заметим, что \( 784 = 28^2 \), поэтому \( \sqrt{D} = 28 \). По формуле корней квадратного уравнения находим: \( x_1 = \frac{-4 — 28}{2} = \frac{-32}{2} = -16 \) и \( x_2 = \frac{-4 + 28}{2} = \frac{24}{2} = 12 \).

Первый корень \( x_1 = -16 \) не подходит, так как количество билетов не может быть отрицательным числом. Второй корень \( x_2 = 12 \) является допустимым решением, поэтому Андрей купил 12 билетов лотереи Надежда. Теперь найдём стоимость одного билета, разделив общую сумму на количество билетов: \( 240 : 12 = 20 \) рублей. Таким образом, один билет лотереи Надежда стоит 20 рублей.

Проверим правильность решения. Если Андрей купил 12 билетов по 20 рублей, то он потратил \( 12 \cdot 20 = 240 \) рублей. Если бы он купил билеты лотереи удача, то их было бы \( 12 + 4 = 16 \) билетов, и каждый стоил бы \( 240 : 16 = 15 \) рублей. Разница в цене: \( 20 — 15 = 5 \) рублей, что соответствует условию задачи. Все условия выполнены, решение верно.