Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 654 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
На молодёжном карнавале Андрей купил билеты лотереи «Надежда» на 240 р. Если бы он потратил эти деньги на билеты лотереи «Удача», то смог бы купить на 4 билета больше, так как они были на 5 р. дешевле. Сколько стоил билет лотереи «Надежда»?
Пусть Андрей купил \( x \) билетов лотереи Надежда, тогда билетов лотереи удача он мог купить \( x + 4 \).
Составим уравнение:
\( \frac{240}{x} — \frac{240}{x+4} = 5 \)
\( 240(x+4) — 240x = 5x(x+4) \)
\( 240x + 960 — 240x = 5x^2 + 20x \)
\( 5x^2 + 20x — 960 = 0 \) \( | : 5 \)
\( x^2 + 4x — 192 = 0 \)
\( D = 16 + 4 \cdot 192 = 16 + 768 = 784 = 28^2 \)
\( x_1 = \frac{-4 — 28}{2} = \frac{-32}{2} = -16 \) — не подходит,
\( x_2 = \frac{-4 + 28}{2} = \frac{24}{2} = 12 \) (билетов) — лотереи Надежда.
\( 240 : 12 = 20 \) (руб) — стоил один билет.
Ответ: 20 руб.
Обозначим количество билетов лотереи Надежда, которые купил Андрей, через \( x \). По условию задачи, билетов лотереи удача он мог купить на 4 больше, то есть \( x + 4 \) билета. Общая сумма денег, которую Андрей потратил на билеты лотереи Надежда, составляет 240 рублей. Если бы он купил билеты лотереи удача вместо Надежды, то потратил бы также 240 рублей, но билетов было бы больше. Разница в цене одного билета между этими двумя лотереями составляет 5 рублей, то есть билет лотереи Надежда дороже на 5 рублей, чем билет лотереи удача.
Цена одного билета лотереи Надежда равна \( \frac{240}{x} \) рублей, а цена одного билета лотереи удача равна \( \frac{240}{x+4} \) рублей. Поскольку билет Надежды дороже на 5 рублей, мы можем составить уравнение: \( \frac{240}{x} — \frac{240}{x+4} = 5 \). Это уравнение выражает разницу в цене между билетами двух лотерей.
Приведём уравнение к общему знаменателю. Умножим обе части на \( x(x+4) \), чтобы избавиться от дробей: \( 240(x+4) — 240x = 5x(x+4) \). Раскроем скобки в левой части: \( 240x + 960 — 240x = 5x^2 + 20x \). После упрощения левой части получаем: \( 960 = 5x^2 + 20x \). Перенесём все в одну сторону: \( 5x^2 + 20x — 960 = 0 \). Разделим всё уравнение на 5, чтобы упростить коэффициенты: \( x^2 + 4x — 192 = 0 \).
Решим квадратное уравнение через дискриминант. Вычислим дискриминант по формуле \( D = b^2 — 4ac \), где \( a = 1 \), \( b = 4 \), \( c = -192 \): \( D = 16 + 4 \cdot 192 = 16 + 768 = 784 \). Заметим, что \( 784 = 28^2 \), поэтому \( \sqrt{D} = 28 \). По формуле корней квадратного уравнения находим: \( x_1 = \frac{-4 — 28}{2} = \frac{-32}{2} = -16 \) и \( x_2 = \frac{-4 + 28}{2} = \frac{24}{2} = 12 \).
Первый корень \( x_1 = -16 \) не подходит, так как количество билетов не может быть отрицательным числом. Второй корень \( x_2 = 12 \) является допустимым решением, поэтому Андрей купил 12 билетов лотереи Надежда. Теперь найдём стоимость одного билета, разделив общую сумму на количество билетов: \( 240 : 12 = 20 \) рублей. Таким образом, один билет лотереи Надежда стоит 20 рублей.
Проверим правильность решения. Если Андрей купил 12 билетов по 20 рублей, то он потратил \( 12 \cdot 20 = 240 \) рублей. Если бы он купил билеты лотереи удача, то их было бы \( 12 + 4 = 16 \) билетов, и каждый стоил бы \( 240 : 16 = 15 \) рублей. Разница в цене: \( 20 — 15 = 5 \) рублей, что соответствует условию задачи. Все условия выполнены, решение верно.Обозначим количество билетов лотереи Надежда, которые купил Андрей, через \( x \). По условию задачи, билетов лотереи удача он мог купить на 4 больше, то есть \( x + 4 \) билета. Общая сумма денег, которую Андрей потратил на билеты лотереи Надежда, составляет 240 рублей. Если бы он купил билеты лотереи удача вместо Надежды, то потратил бы также 240 рублей, но билетов было бы больше. Разница в цене одного билета между этими двумя лотереями составляет 5 рублей, то есть билет лотереи Надежда дороже на 5 рублей, чем билет лотереи удача.
Цена одного билета лотереи Надежда равна \( \frac{240}{x} \) рублей, а цена одного билета лотереи удача равна \( \frac{240}{x+4} \) рублей. Поскольку билет Надежды дороже на 5 рублей, мы можем составить уравнение: \( \frac{240}{x} — \frac{240}{x+4} = 5 \). Это уравнение выражает разницу в цене между билетами двух лотерей.
Приведём уравнение к общему знаменателю. Умножим обе части на \( x(x+4) \), чтобы избавиться от дробей: \( 240(x+4) — 240x = 5x(x+4) \). Раскроем скобки в левой части: \( 240x + 960 — 240x = 5x^2 + 20x \). После упрощения левой части получаем: \( 960 = 5x^2 + 20x \). Перенесём все в одну сторону: \( 5x^2 + 20x — 960 = 0 \). Разделим всё уравнение на 5, чтобы упростить коэффициенты: \( x^2 + 4x — 192 = 0 \).
Решим квадратное уравнение через дискриминант. Вычислим дискриминант по формуле \( D = b^2 — 4ac \), где \( a = 1 \), \( b = 4 \), \( c = -192 \): \( D = 16 + 4 \cdot 192 = 16 + 768 = 784 \). Заметим, что \( 784 = 28^2 \), поэтому \( \sqrt{D} = 28 \). По формуле корней квадратного уравнения находим: \( x_1 = \frac{-4 — 28}{2} = \frac{-32}{2} = -16 \) и \( x_2 = \frac{-4 + 28}{2} = \frac{24}{2} = 12 \).
Первый корень \( x_1 = -16 \) не подходит, так как количество билетов не может быть отрицательным числом. Второй корень \( x_2 = 12 \) является допустимым решением, поэтому Андрей купил 12 билетов лотереи Надежда. Теперь найдём стоимость одного билета, разделив общую сумму на количество билетов: \( 240 : 12 = 20 \) рублей. Таким образом, один билет лотереи Надежда стоит 20 рублей.
Проверим правильность решения. Если Андрей купил 12 билетов по 20 рублей, то он потратил \( 12 \cdot 20 = 240 \) рублей. Если бы он купил билеты лотереи удача, то их было бы \( 12 + 4 = 16 \) билетов, и каждый стоил бы \( 240 : 16 = 15 \) рублей. Разница в цене: \( 20 — 15 = 5 \) рублей, что соответствует условию задачи. Все условия выполнены, решение верно.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!