Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 656 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Старинная задача. Несколько человек обедали вместе и по счёту должны были уплатить 175 шиллингов. Оказалось, что у двоих не было при себе денег. Поэтому каждому из остальных пришлось уплатить на 10 шиллингов больше, чем приходилось на его долю. Сколько человек обедало?
Пусть обедало \( x \) человек, но уплатить смогли \( x — 2 \) человека.
Составим уравнение: \( \frac{175}{x-2} — \frac{175}{x} = 10 \)
\( 175x — 175(x — 2) = 10x(x — 2) \)
\( 175x — 175x + 350 = 10x^2 — 20x \)
\( 10x^2 — 20x — 350 = 0 \) \( | : 10 \)
\( x^2 — 2x — 35 = 0 \)
\( D = 4 + 4 \cdot 35 = 4 + 140 = 144 = 12^2 \)
\( x_1 = \frac{2 — 12}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \) — не подходит,
\( x_2 = \frac{2 + 12}{2} = \frac{14}{2} = 7 \) (человек) — обедало.
Ответ: 7 человек.
Обозначим количество людей, которые первоначально собирались обедать, через \( x \) человек. По условию задачи, двое из них не смогли уплатить, поэтому фактически обедало \( x — 2 \) человека. Каждый из оставшихся должен был заплатить на 10 рублей больше, чем планировалось изначально. Общая сумма счёта составляет 175 рублей. Если бы обедали все \( x \) человек, то каждый заплатил бы \( \frac{175}{x} \) рублей. Так как обедали только \( x — 2 \) человека, то каждый заплатил \( \frac{175}{x-2} \) рублей. Разница между фактической и планируемой суммой составляет 10 рублей, что позволяет нам составить уравнение.
На основе этих соотношений составляем уравнение: \( \frac{175}{x-2} — \frac{175}{x} = 10 \). Это уравнение отражает то, что каждый из оставшихся людей заплатил на 10 рублей больше, чем планировалось. Приведём обе части уравнения к общему знаменателю, который равен \( x(x-2) \). Умножим первую дробь на \( x \), а вторую на \( x — 2 \): \( \frac{175x}{x(x-2)} — \frac{175(x-2)}{x(x-2)} = 10 \). Объединяя дроби с одинаковым знаменателем, получаем: \( \frac{175x — 175(x-2)}{x(x-2)} = 10 \).
Раскроем скобки в числителе: \( 175x — 175x + 350 = 350 \). Таким образом, уравнение принимает вид: \( \frac{350}{x(x-2)} = 10 \). Умножим обе части на \( x(x-2) \), чтобы избавиться от дроби: \( 350 = 10x(x-2) \). Раскроем скобки справа: \( 350 = 10x^2 — 20x \). Перенесём все члены в левую часть: \( 10x^2 — 20x — 350 = 0 \). Разделим всё уравнение на 10 для упрощения: \( x^2 — 2x — 35 = 0 \).
Решаем квадратное уравнение \( x^2 — 2x — 35 = 0 \) через дискриминант. Вычислим дискриминант по формуле \( D = b^2 — 4ac \), где \( a = 1 \), \( b = -2 \), \( c = -35 \): \( D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144 \). Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два различных действительных корня. Заметим, что \( 144 = 12^2 \), поэтому \( \sqrt{D} = 12 \).
Применяем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \). Подставляем наши значения: \( x = \frac{2 \pm 12}{2} \). Первый корень: \( x_1 = \frac{2 — 12}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \). Второй корень: \( x_2 = \frac{2 + 12}{2} = \frac{14}{2} = 7 \). Так как количество людей не может быть отрицательным числом, корень \( x_1 = -5 \) не подходит по смыслу задачи.
Следовательно, \( x = 7 \) человек. Проверим полученный результат: если первоначально собирались обедать 7 человек, то каждый должен был заплатить \( \frac{175}{7} = 25 \) рублей. Так как двое не смогли уплатить, обедали 5 человек, и каждый заплатил \( \frac{175}{5} = 35 \) рублей. Разница составляет \( 35 — 25 = 10 \) рублей, что соответствует условию задачи. Таким образом, ответ подтверждается: обедало 7 человек.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!