ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 657 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Сотрудники отдела решили совместно приобрести однокамерный холодильник за 14 400 р. Однако трое отказались участвовать в покупке, и остальным пришлось уплатить на 400 р. больше, чем предполагалось. Сколько сотрудников работает в отделе?

Пусть \( x \) сотрудников работает в отделе, тогда \( (x — 3) \) сотрудника участвовали в покупке холодильника. Составим уравнение:

\( \frac{14\,400}{x — 3} — \frac{14\,400}{x} = 400 \)

\( 14\,400x — 14\,400(x — 3) = 400x(x — 3) \)

\( 14\,400x — 14\,400x + 43\,200 = 400x^2 — 1200x \)

\( 400x^2 — 1200x — 43\,200 = 0 \) \( | : 400 \)

\( x^2 — 3x — 108 = 0 \)

\( D = 9 + 4 \cdot 108 = 9 + 432 = 441 = 21^2 \)

\( x_1 = \frac{3 — 21}{2} = \frac{-18}{2} = -9 \) — не подходит,

\( x_2 = \frac{3 + 21}{2} = \frac{24}{2} = 12 \) (человек) — в отделе.

Ответ: 12 сотрудников.

Обозначим через \( x \) количество сотрудников, работающих в отделе. По условию задачи, в покупке холодильника участвовали \( (x — 3) \) сотрудника, то есть на три человека меньше, чем всего работает в отделе. Стоимость холодильника составляет 14 400 рублей. Если бы все \( x \) сотрудников участвовали в покупке поровну, то каждый внёс бы \( \frac{14\,400}{x} \) рублей. Однако в действительности участвовали только \( (x — 3) \) человека, поэтому каждый из них внёс \( \frac{14\,400}{x — 3} \) рублей. По условию разница между этими суммами составляет 400 рублей, то есть каждый участник покупки внёс на 400 рублей больше, чем если бы участвовали все сотрудники отдела.

Составляем уравнение на основе этого условия: \( \frac{14\,400}{x — 3} — \frac{14\,400}{x} = 400 \). Это уравнение выражает, что разница в размере взноса одного человека равна 400 рублям. Приведём левую часть к общему знаменателю, который будет равен \( x(x — 3) \). Числитель первой дроби умножаем на \( x \), числитель второй дроби умножаем на \( (x — 3) \), получаем: \( \frac{14\,400x — 14\,400(x — 3)}{x(x — 3)} = 400 \). Раскроем скобки в числителе: \( 14\,400x — 14\,400x + 43\,200 = 43\,200 \). Таким образом, уравнение принимает вид: \( \frac{43\,200}{x(x — 3)} = 400 \).

Умножим обе части уравнения на \( x(x — 3) \), чтобы избавиться от дроби: \( 43\,200 = 400x(x — 3) \). Раскроем скобки на правой стороне: \( 43\,200 = 400x^2 — 1200x \). Перенесём все члены в левую часть: \( 400x^2 — 1200x — 43\,200 = 0 \). Разделим всё уравнение на 400, чтобы упростить коэффициенты: \( x^2 — 3x — 108 = 0 \). Это квадратное уравнение стандартного вида, где коэффициент при \( x^2 \) равен 1, при \( x \) равен \( -3 \), а свободный член равен \( -108 \).

Для решения квадратного уравнения \( x^2 — 3x — 108 = 0 \) используем формулу дискриминанта: \( D = b^2 — 4ac \), где \( a = 1 \), \( b = -3 \), \( c = -108 \). Вычислим дискриминант: \( D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-108) = 9 + 432 = 441 \). Заметим, что \( 441 = 21^2 \), поэтому дискриминант является полным квадратом, что гарантирует наличие двух действительных корней. Применим формулу для нахождения корней: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm 21}{2} \). Первый корень: \( x_1 = \frac{3 — 21}{2} = \frac{-18}{2} = -9 \). Второй корень: \( x_2 = \frac{3 + 21}{2} = \frac{24}{2} = 12 \).

Первый корень \( x_1 = -9 \) не подходит для решения задачи, так как количество сотрудников не может быть отрицательным числом. Кроме того, если бы в отделе работало \( -9 \) человек, то в покупке участвовало бы \( -9 — 3 = -12 \) человек, что также не имеет смысла в контексте задачи. Второй корень \( x_2 = 12 \) полностью соответствует условиям задачи. Проверим: если в отделе работает 12 сотрудников, то в покупке участвовали \( 12 — 3 = 9 \) человек. Каждый из девяти участников внёс \( \frac{14\,400}{9} = 1600 \) рублей. Если бы участвовали все 12 человек, каждый внёс бы \( \frac{14\,400}{12} = 1200 \) рублей. Разница составляет \( 1600 — 1200 = 400 \) рублей, что полностью совпадает с условием задачи.

В отделе работает 12 сотрудников.