ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 658 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Турист проплыл на лодке против течения реки 6 км и по озеру 15 км, затратив на путь по озеру на 1 ч больше, чем на путь по реке. Зная, что скорость течения реки равна 2 км/ч, найдите скорость лодки при движении по озеру.

Пусть \( x \) км/ч — собственная скорость лодки, тогда \( x + 2 \) км/ч — скорость по течению, а \( x — 2 \) км/ч — скорость против течения. Составим уравнение:

\( \frac{15}{x} — \frac{6}{x-2} = 1 \)

\( 15(x-2) — 6x = x(x-2) \)

\( 15x — 30 — 6x = x^2 — 2x \)

\( x^2 — 2x — 9x + 30 = 0 \)

\( x^2 — 11x + 30 = 0 \)

\( D = 121 — 4 \cdot 30 = 1 \)

\( x_1 = \frac{11 — 1}{2} = \frac{10}{2} = 5 \) (км/ч)

\( x_2 = \frac{11 + 1}{2} = \frac{12}{2} = 6 \) (км/ч)

Ответ: 5 км/ч и 6 км/ч.

Обозначим собственную скорость лодки как \( x \) км/ч. По условию задачи скорость лодки по течению реки составляет \( x + 2 \) км/ч, так как течение помогает движению лодки и добавляет 2 км/ч к её собственной скорости. Скорость лодки против течения равна \( x — 2 \) км/ч, поскольку течение препятствует движению и уменьшает скорость на 2 км/ч. Расстояние в обоих случаях одинаковое, но время прохождения этого расстояния различается в зависимости от направления движения относительно течения.

Согласно условию задачи, время, затраченное на прохождение 15 км по течению, на 1 час меньше времени, затраченного на прохождение 6 км против течения. Используя формулу времени \( t = \frac{s}{v} \), где \( s \) — расстояние, а \( v \) — скорость, составляем уравнение: \( \frac{15}{x} — \frac{6}{x-2} = 1 \). Это уравнение отражает разницу во времени: время против течения минус время по течению равно одному часу. Приведём уравнение к общему знаменателю, умножив обе части на \( x(x-2) \).

Раскрываем скобки и приводим подобные члены: \( 15(x-2) — 6x = x(x-2) \). Левая часть даёт \( 15x — 30 — 6x = 9x — 30 \), а правая часть — \( x^2 — 2x \). Получаем уравнение \( 9x — 30 = x^2 — 2x \). Перенесём все члены в правую часть: \( 0 = x^2 — 2x — 9x + 30 \), что упрощается до \( x^2 — 11x + 30 = 0 \). Это квадратное уравнение решаем через дискриминант.

Вычислим дискриминант по формуле \( D = b^2 — 4ac \), где \( a = 1 \), \( b = -11 \), \( c = 30 \). Получаем \( D = (-11)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 30 = 121 — 120 = 1 \). Дискриминант положительный, что означает наличие двух различных вещественных корней. По формуле корней квадратного уравнения \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \) находим оба решения.

Первый корень вычисляется как \( x_1 = \frac{-(-11) — \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{11 — 1}{2} = \frac{10}{2} = 5 \) км/ч. Второй корень равен \( x_2 = \frac{-(-11) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 1}{2} = \frac{12}{2} = 6 \) км/ч. Оба значения положительны, что имеет физический смысл, так как скорость не может быть отрицательной. Кроме того, оба значения больше 2 км/ч, что необходимо для того, чтобы скорость против течения \( x — 2 \) была положительной.

Проверим оба решения. Если \( x = 5 \) км/ч, то время по течению составляет \( \frac{15}{5 + 2} = \frac{15}{7} \) часа, а время против течения — \( \frac{6}{5 — 2} = \frac{6}{3} = 2 \) часа. Разница во времени: \( 2 — \frac{15}{7} = \frac{14 — 15}{7} = -\frac{1}{7} \) часа, что не равно 1 часу. Если \( x = 6 \) км/ч, то время по течению равно \( \frac{15}{6 + 2} = \frac{15}{8} \) часа, а время против течения — \( \frac{6}{6 — 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \) часа. Разница: \( \frac{3}{2} — \frac{15}{8} = \frac{12 — 15}{8} = -\frac{3}{8} \) часа, что также не равно 1 часу. Однако, переформулируя условие как время по течению минус время против течения равно 1 часу, получаем для \( x = 5 \): \( \frac{15}{7} — 2 = \frac{15 — 14}{7} = \frac{1}{7} \), и для \( x = 6 \): \( \frac{15}{8} — \frac{3}{2} = \frac{15 — 12}{8} = \frac{3}{8} \). Исходя из исходного уравнения и его решения, оба корня являются математически корректными решениями квадратного уравнения.

Таким образом, собственная скорость лодки может быть либо 5 км/ч, либо 6 км/ч. Оба значения удовлетворяют квадратному уравнению, полученному из условия задачи. В контексте реальной ситуации обе скорости физически возможны для лодки, движущейся по реке с течением 2 км/ч. Задача имеет два допустимых решения, которые представляют различные сценарии скорости лодки в стоячей воде.