ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 66 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Выполните действие:
а) \(\frac{x^2}{(x-5)^2} — \frac{25}{(5-x)^2};\)
б) \(\frac{x^2 + 25}{(x-5)^3} + \frac{10x}{(5-x)^3}.\)

а) \(\frac{x^2 — 25}{(x — 5)^2} = \frac{25}{(5 — x)^2} = \frac{x^2 — 25}{(x — 5)^2} = \frac{(x — 5)(x + 5)}{(x — 5)^2} = \frac{x + 5}{x — 5}\)

б) \(\frac{x^2 + 25}{(x — 5)^3} + \frac{10x}{(5 — x)^3} = \frac{x^2 + 25}{(x — 5)^3} — \frac{10x}{(x — 5)^3} = \frac{x^2 + 25 — 10x}{(x — 5)^3} = \frac{(x — 5)^2}{(x — 5)^3} = \frac{1}{x — 5}\)

а) В данном выражении мы имеем дробь с числителем \(x^2 — 25\) и знаменателем \((x — 5)^2\). Первым шагом выделяем разложение числителя на множители, используя формулу разности квадратов: \(x^2 — 25 = (x — 5)(x + 5)\). Это позволяет переписать исходную дробь в виде \(\frac{(x — 5)(x + 5)}{(x — 5)^2}\).

Далее сокращаем дробь, заметив, что в числителе и знаменателе есть общий множитель \(x — 5\). При сокращении остаётся \(\frac{x + 5}{x — 5}\), так как один множитель \(x — 5\) из знаменателя и числителя взаимно уничтожается. Таким образом, исходное выражение упрощается до \(\frac{x + 5}{x — 5}\).

б) В этом примере мы складываем две дроби с одинаковым знаменателем \((x — 5)^3\), но с разными числителями: \(x^2 + 25\) и \(10x\), при этом во второй дроби знак минус появляется из-за того, что \((5 — x)^3 = -(x — 5)^3\). Поэтому выражение переписывается как \(\frac{x^2 + 25}{(x — 5)^3} — \frac{10x}{(x — 5)^3}\).

Поскольку знаменатели одинаковы, складываем числители: \(x^2 + 25 — 10x\). Получается дробь \(\frac{x^2 + 25 — 10x}{(x — 5)^3}\). Далее упорядочиваем числитель по степеням: \(x^2 — 10x + 25\), что является квадратом разности \((x — 5)^2\).

Подставляем это в дробь: \(\frac{(x — 5)^2}{(x — 5)^3}\). При сокращении степени в знаменателе и числителе остаётся \(\frac{1}{x — 5}\), так как \( (x — 5)^3 \div (x — 5)^2 = x — 5\). Таким образом, выражение упрощается до \(\frac{1}{x — 5}\).