Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 660 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Катер, развивающий в стоячей воде скорость 20 км/ч, прошёл 36 км против течения и 22 км по течению, затратив на весь путь 3 ч. Найдите скорость течения реки.
Пусть \( x \) км/ч — скорость течения, тогда \( 20 + x \) км/ч — скорость катера по течению, а \( 20 — x \) км/ч — скорость против течения.
Составим уравнение:
\( \frac{36}{20 — x} + \frac{22}{20 + x} = 3 \)
Умножим обе части на \( (20 — x)(20 + x) \):
\( 36(20 + x) + 22(20 — x) = 3(400 — x^2) \)
\( 720 + 36x + 440 — 22x = 1200 — 3x^2 \)
\( 3x^2 + 14x — 40 = 0 \)
Найдём дискриминант:
\( D = 196 + 4 \cdot 3 \cdot 40 = 196 + 480 = 676 = 26^2 \)
Найдём корни:
\( x_1 = \frac{-14 — 26}{6} = \frac{-40}{6} \) — не подходит,
\( x_2 = \frac{-14 + 26}{6} = \frac{12}{6} = 2 \) (км/ч) — скорость течения.
Ответ: 2 км/ч.
Обозначим скорость течения реки как \( x \) км/ч. Тогда скорость катера по течению составляет \( 20 + x \) км/ч, а скорость катера против течения равна \( 20 — x \) км/ч. Здесь \( 20 \) км/ч — это собственная скорость катера в стоячей воде. Катер проходит 36 км по течению и 22 км против течения, затрачивая на весь путь 3 часа. Время в пути складывается из времени движения по течению и времени движения против течения, поэтому составляем уравнение, где время равно расстояние, делённое на скорость.
Запишем уравнение в виде суммы времён: \( \frac{36}{20 — x} + \frac{22}{20 + x} = 3 \). Первая дробь \( \frac{36}{20 — x} \) представляет время движения против течения (36 км делим на скорость против течения), вторая дробь \( \frac{22}{20 + x} \) — время движения по течению (22 км делим на скорость по течению). Сумма этих времён равна 3 часам. Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на общий знаменатель \( (20 — x)(20 + x) \), который равен \( 400 — x^2 \).
После умножения получаем: \( 36(20 + x) + 22(20 — x) = 3(400 — x^2) \). Раскроем скобки в левой части: \( 36 \cdot 20 + 36x + 22 \cdot 20 — 22x = 720 + 36x + 440 — 22x = 1160 + 14x \). Раскроем скобки в правой части: \( 3 \cdot 400 — 3x^2 = 1200 — 3x^2 \). Получаем уравнение \( 1160 + 14x = 1200 — 3x^2 \).
Перенесём все члены в левую часть: \( 1160 + 14x — 1200 + 3x^2 = 0 \), откуда \( 3x^2 + 14x — 40 = 0 \). Это квадратное уравнение вида \( ax^2 + bx + c = 0 \), где \( a = 3 \), \( b = 14 \), \( c = -40 \). Для решения используем формулу дискриминанта: \( D = b^2 — 4ac = 14^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-40) = 196 + 480 = 676 \). Дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два действительных корня. Заметим, что \( 676 = 26^2 \), так что \( \sqrt{D} = 26 \).
По формуле корней квадратного уравнения находим: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 \pm 26}{6} \). Первый корень: \( x_1 = \frac{-14 — 26}{6} = \frac{-40}{6} = -\frac{20}{3} \approx -6{,}67 \) км/ч. Этот корень отрицательный, что физически невозможно для скорости течения реки (скорость течения не может быть отрицательной). Поэтому первый корень не подходит к условиям задачи.
Второй корень: \( x_2 = \frac{-14 + 26}{6} = \frac{12}{6} = 2 \) км/ч. Этот корень положительный и имеет физический смысл. Проверим решение: если скорость течения равна 2 км/ч, то скорость по течению составляет \( 20 + 2 = 22 \) км/ч, а скорость против течения равна \( 20 — 2 = 18 \) км/ч. Время в пути: \( \frac{36}{18} + \frac{22}{22} = 2 + 1 = 3 \) часа. Проверка подтверждает правильность решения.
Таким образом, скорость течения реки составляет 2 км/ч. Это означает, что при движении по течению катер движется быстрее на 2 км/ч, а при движении против течения — медленнее на 2 км/ч по сравнению с его собственной скоростью в стоячей воде.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!