Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 661 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
В водный раствор соли добавили 100 г воды. В результате концентрация соли в растворе понизилась на 1%. Определите первоначальную массу раствора, если известно, что в нём содержалось 30 г соли.
Пусть \( x \) г — масса раствора, тогда \( \frac{30}{x} \) — соотношение соли к раствору, а \( \frac{30}{x+100} \) — соотношение соли к новому раствору. \( 1\% = 0,01 \)
Составим уравнение:
\( \frac{30}{x} — \frac{30}{x+100} = 0,01 \)
\( 30(x+100) = 30x + 0,01x(x+100) \)
\( 30x + 3000 = 30x + 0,01x^2 + x \)
\( 0,01x^2 + x — 3000 = 0 \) \( | \cdot 100 \)
\( x^2 + 100x — 300\,000 = 0 \)
\( D = 10\,000 + 4 \cdot 300\,000 = 1\,210\,000 = 1100^2 \)
\( x_1 = \frac{-100 — 1100}{2} = \frac{-1200}{2} = -600 \) — не подходит,
\( x_2 = \frac{-100 + 1100}{2} = \frac{1000}{2} = 500 \) (г) — масса раствора.
Ответ: 500 грамм.
Обозначим через \( x \) грамм массу исходного раствора. В этом растворе содержится 30 грамм соли, поэтому концентрация соли в исходном растворе составляет \( \frac{30}{x} \). После добавления 100 грамм воды к раствору общая масса становится равной \( x + 100 \) грамм, а количество соли остаётся неизменным — 30 грамм. Таким образом, концентрация соли в новом растворе равна \( \frac{30}{x+100} \). По условию задачи концентрация соли уменьшилась на 1%, что в десятичной форме записывается как 0,01.
Составляем уравнение на основе условия, что разность концентраций равна 0,01. Исходная концентрация минус новая концентрация даёт изменение концентрации: \( \frac{30}{x} — \frac{30}{x+100} = 0,01 \). Приводим левую часть к общему знаменателю, умножив первую дробь на \( (x+100) \) и вторую на \( x \): \( \frac{30(x+100) — 30x}{x(x+100)} = 0,01 \). Упрощаем числитель: \( \frac{30x + 3000 — 30x}{x(x+100)} = 0,01 \), что даёт \( \frac{3000}{x(x+100)} = 0,01 \).
Умножаем обе части уравнения на \( x(x+100) \): \( 3000 = 0,01 \cdot x(x+100) \). Раскрываем скобки в правой части: \( 3000 = 0,01x^2 + x \). Переносим все члены в левую часть: \( 0,01x^2 + x — 3000 = 0 \). Для удобства решения умножаем всё уравнение на 100, чтобы избавиться от десятичной дроби: \( x^2 + 100x — 300\,000 = 0 \).
Решаем полученное квадратное уравнение через дискриминант. Вычисляем дискриминант по формуле \( D = b^2 — 4ac \), где \( a = 1 \), \( b = 100 \), \( c = -300\,000 \): \( D = 100^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-300\,000) = 10\,000 + 1\,200\,000 = 1\,210\,000 \). Замечаем, что \( 1\,210\,000 = 1100^2 \), поскольку \( 1100 \times 1100 = 1\,210\,000 \). Корень из дискриминанта равен \( \sqrt{D} = 1100 \).
Применяем формулу для корней квадратного уравнения: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-100 \pm 1100}{2} \). Первый корень: \( x_1 = \frac{-100 — 1100}{2} = \frac{-1200}{2} = -600 \). Этот корень отрицательный, что физически невозможно для массы раствора, поэтому он не подходит. Второй корень: \( x_2 = \frac{-100 + 1100}{2} = \frac{1000}{2} = 500 \). Это положительное значение, которое имеет физический смысл.
Проверяем полученный результат, подставляя \( x = 500 \) в исходное условие. Исходная концентрация: \( \frac{30}{500} = 0,06 \) или 6%. Новая концентрация: \( \frac{30}{500+100} = \frac{30}{600} = 0,05 \) или 5%. Разность концентраций: \( 0,06 — 0,05 = 0,01 \) или 1%, что полностью соответствует условию задачи. Таким образом, масса исходного раствора составляет 500 грамм.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!