ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 661 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

В водный раствор соли добавили 100 г воды. В результате концентрация соли в растворе понизилась на 1%. Определите первоначальную массу раствора, если известно, что в нём содержалось 30 г соли.

Пусть \( x \) г — масса раствора, тогда \( \frac{30}{x} \) — соотношение соли к раствору, а \( \frac{30}{x+100} \) — соотношение соли к новому раствору. \( 1\% = 0,01 \)

Составим уравнение:

\( \frac{30}{x} — \frac{30}{x+100} = 0,01 \)

\( 30(x+100) = 30x + 0,01x(x+100) \)

\( 30x + 3000 = 30x + 0,01x^2 + x \)

\( 0,01x^2 + x — 3000 = 0 \) \( | \cdot 100 \)

\( x^2 + 100x — 300\,000 = 0 \)

\( D = 10\,000 + 4 \cdot 300\,000 = 1\,210\,000 = 1100^2 \)

\( x_1 = \frac{-100 — 1100}{2} = \frac{-1200}{2} = -600 \) — не подходит,

\( x_2 = \frac{-100 + 1100}{2} = \frac{1000}{2} = 500 \) (г) — масса раствора.

Ответ: 500 грамм.

Обозначим через \( x \) грамм массу исходного раствора. В этом растворе содержится 30 грамм соли, поэтому концентрация соли в исходном растворе составляет \( \frac{30}{x} \). После добавления 100 грамм воды к раствору общая масса становится равной \( x + 100 \) грамм, а количество соли остаётся неизменным — 30 грамм. Таким образом, концентрация соли в новом растворе равна \( \frac{30}{x+100} \). По условию задачи концентрация соли уменьшилась на 1%, что в десятичной форме записывается как 0,01.

Составляем уравнение на основе условия, что разность концентраций равна 0,01. Исходная концентрация минус новая концентрация даёт изменение концентрации: \( \frac{30}{x} — \frac{30}{x+100} = 0,01 \). Приводим левую часть к общему знаменателю, умножив первую дробь на \( (x+100) \) и вторую на \( x \): \( \frac{30(x+100) — 30x}{x(x+100)} = 0,01 \). Упрощаем числитель: \( \frac{30x + 3000 — 30x}{x(x+100)} = 0,01 \), что даёт \( \frac{3000}{x(x+100)} = 0,01 \).

Умножаем обе части уравнения на \( x(x+100) \): \( 3000 = 0,01 \cdot x(x+100) \). Раскрываем скобки в правой части: \( 3000 = 0,01x^2 + x \). Переносим все члены в левую часть: \( 0,01x^2 + x — 3000 = 0 \). Для удобства решения умножаем всё уравнение на 100, чтобы избавиться от десятичной дроби: \( x^2 + 100x — 300\,000 = 0 \).

Решаем полученное квадратное уравнение через дискриминант. Вычисляем дискриминант по формуле \( D = b^2 — 4ac \), где \( a = 1 \), \( b = 100 \), \( c = -300\,000 \): \( D = 100^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-300\,000) = 10\,000 + 1\,200\,000 = 1\,210\,000 \). Замечаем, что \( 1\,210\,000 = 1100^2 \), поскольку \( 1100 \times 1100 = 1\,210\,000 \). Корень из дискриминанта равен \( \sqrt{D} = 1100 \).

Применяем формулу для корней квадратного уравнения: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-100 \pm 1100}{2} \). Первый корень: \( x_1 = \frac{-100 — 1100}{2} = \frac{-1200}{2} = -600 \). Этот корень отрицательный, что физически невозможно для массы раствора, поэтому он не подходит. Второй корень: \( x_2 = \frac{-100 + 1100}{2} = \frac{1000}{2} = 500 \). Это положительное значение, которое имеет физический смысл.

Проверяем полученный результат, подставляя \( x = 500 \) в исходное условие. Исходная концентрация: \( \frac{30}{500} = 0,06 \) или 6%. Новая концентрация: \( \frac{30}{500+100} = \frac{30}{600} = 0,05 \) или 5%. Разность концентраций: \( 0,06 — 0,05 = 0,01 \) или 1%, что полностью соответствует условию задачи. Таким образом, масса исходного раствора составляет 500 грамм.