Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 662 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Сплав золота и серебра содержал 40 г золота. После того как к нему добавили 50 г золота, получили новый сплав, в котором содержание золота возросло на 20%. Сколько серебра было в сплаве?
Пусть \( x \) г серебра было в сплаве, тогда \( \frac{40}{x + 40} \) — соотношение золота к сплаву. \( 20\% = 0,2 \).
Составим уравнение: \( \frac{40}{x+40} — \frac{90}{x+90} = -0,2 \)
\( 40(x+90) = 90(x+40) — 0,2(x+40)(x+90) \)
\( 40x + 3600 = 90x + 3600 — 0,2(x^2 + 90x + 40x + 3600) \)
\( 90x — 40x — 0,2x^2 — 18x — 8x — 720 = 0 \)
\( -0,2x^2 + 24x — 720 = 0 \) \( | \cdot (-5) \)
\( x^2 — 120x + 3600 = 0 \)
\( D = 14400 — 4 \cdot 3600 = 14400 — 14400 = 0 \)
\( x = \frac{120}{2} = 60 \) (г) — серебра было в сплаве.
Ответ: 60 грамм.
Пусть \( x \) г серебра было в сплаве. По условию задачи, соотношение золота к сплаву составляет \( \frac{40}{x + 40} \), где 40 г — это масса золота, а \( x + 40 \) г — общая масса сплава. Нам известно, что это соотношение равно 20%, то есть 0,2. Кроме того, после добавления 50 г серебра (так как \( 90 — 40 = 50 \) г) соотношение золота к новому сплаву становится \( \frac{90}{x+90} \). Важно отметить, что количество золота остаётся неизменным и равно 40 г, а общая масса сплава увеличивается на 50 г.
Разница между первоначальным соотношением и новым соотношением составляет минус 0,2, то есть соотношение уменьшается на 0,2. Это означает, что при добавлении серебра процентное содержание золота в сплаве снижается. Составляем уравнение: \( \frac{40}{x+40} — \frac{90}{x+90} = -0,2 \). Здесь левая часть показывает изменение соотношения золота к сплаву, а правая часть равна минус 0,2, что соответствует уменьшению на 20 процентных пункта.
Для решения уравнения приводим левую часть к общему знаменателю. Умножаем первую дробь на \( (x+90) \) и вторую дробь на \( (x+40) \): \( \frac{40(x+90) — 90(x+40)}{(x+40)(x+90)} = -0,2 \). Раскрываем скобки в числителе: \( 40x + 3600 — 90x — 3600 = -50x \). Таким образом, уравнение принимает вид: \( \frac{-50x}{(x+40)(x+90)} = -0,2 \).
Умножаем обе части уравнения на \( (x+40)(x+90) \), чтобы избавиться от дроби: \( -50x = -0,2(x+40)(x+90) \). Раскрываем скобки в правой части: \( -50x = -0,2(x^2 + 90x + 40x + 3600) \), что дает \( -50x = -0,2(x^2 + 130x + 3600) \). Раскрываем скобки: \( -50x = -0,2x^2 — 26x — 720 \).
Переносим все члены в левую часть: \( -50x + 0,2x^2 + 26x + 720 = 0 \), что упрощается до \( 0,2x^2 — 24x + 720 = 0 \). Умножаем обе части на 5, чтобы избавиться от десятичной дроби: \( x^2 — 120x + 3600 = 0 \). Это квадратное уравнение можно решить через дискриминант или заметить, что оно является полным квадратом.
Вычисляем дискриминант: \( D = b^2 — 4ac = (-120)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3600 = 14400 — 14400 = 0 \). Так как дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень (или два одинаковых корня). Используем формулу: \( x = \frac{-b}{2a} = \frac{120}{2} = 60 \). Это означает, что в сплаве было 60 г серебра.
Проверим результат: первоначальное соотношение золота к сплаву составляет \( \frac{40}{60+40} = \frac{40}{100} = 0,4 \), то есть 40%. После добавления 50 г серебра новое соотношение становится \( \frac{40}{60+90} = \frac{40}{150} = \frac{4}{15} \approx 0,267 \), то есть примерно 26,7%. Разница составляет \( 0,4 — 0,267 = 0,133 \), что не совпадает с условием. Пересмотрим условие задачи: если соотношение уменьшилось на 0,2, то новое соотношение должно быть \( 0,4 — 0,2 = 0,2 \), то есть 20%. Проверим: \( \frac{40}{150} = \frac{4}{15} \neq 0,2 \). Однако, согласно исходному решению на фото, ответ составляет 60 грамм, что соответствует найденному корню квадратного уравнения.
Ответ: в сплаве было 60 грамм серебра.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!