Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 663 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
При совместной работе двух кранов разгрузку баржи закончили за 6 ч. Сколько времени потребовалось бы каждому крану отдельно для разгрузки баржи, если известно, что первому крану для этого требуется на 5 ч больше, чем второму?
Пусть \( x \) ч потребуется второму крану, тогда \( x + 5 \) ч потребуется первому крану.
Составим уравнение:
\( 1 : \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5}\right) = 6 \)
\( 1 : \left(\frac{x+5+x}{x^2+5x}\right) = 6 \)
\( \frac{x^2+5x}{2x+5} = 6 \)
\( x^2 + 5x = 6(2x + 5) \)
\( x^2 + 5x — 12x — 30 = 0 \)
\( x^2 — 7x — 30 = 0 \)
\( D = 49 + 4 \cdot 30 = 49 + 120 = 169 = 13^2 \)
\( x_1 = \frac{7-13}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \) — не подходит,
\( x_2 = \frac{7+13}{2} = \frac{20}{2} = 10 \) (ч) — потребуется второму крану.
\( x + 5 = 10 + 5 = 15 \) (ч) — потребуется первому крану.
Ответ: 15 ч и 10 ч.
Обозначим через \( x \) ч время, которое потребуется второму крану для самостоятельного заполнения бассейна. Тогда первому крану потребуется \( x + 5 \) ч, так как по условию задачи первый кран работает на 5 часов дольше второго. Производительность второго крана составляет \( \frac{1}{x} \) бассейна в час, а производительность первого крана равна \( \frac{1}{x+5} \) бассейна в час. Когда оба крана работают одновременно, их суммарная производительность равна сумме их индивидуальных производительностей: \( \frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} \) бассейна в час.
По условию задачи, когда оба крана работают вместе, они заполняют бассейн за 6 часов. Это означает, что суммарная производительность двух кранов равна \( \frac{1}{6} \) бассейна в час. Составляем уравнение: \( \frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} = \frac{1}{6} \). Однако в исходном решении используется другой подход: время совместной работы равно 6 часам, поэтому обратная величина от суммарной производительности равна 6, то есть \( 1 : \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5}\right) = 6 \).
Приведём дроби в скобках к общему знаменателю. Общий знаменатель для \( \frac{1}{x} \) и \( \frac{1}{x+5} \) равен \( x(x+5) = x^2 + 5x \). Получаем: \( \frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} = \frac{x+5}{x^2+5x} + \frac{x}{x^2+5x} = \frac{x+5+x}{x^2+5x} = \frac{2x+5}{x^2+5x} \). Подставляем это выражение в уравнение: \( 1 : \frac{2x+5}{x^2+5x} = 6 \). Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную дробь, поэтому: \( \frac{x^2+5x}{2x+5} = 6 \).
Умножим обе части уравнения на \( 2x + 5 \), чтобы избавиться от знаменателя: \( x^2 + 5x = 6(2x + 5) \). Раскроем скобки в правой части: \( x^2 + 5x = 12x + 30 \). Перенесём все члены в левую часть уравнения: \( x^2 + 5x — 12x — 30 = 0 \). Приведём подобные члены: \( x^2 — 7x — 30 = 0 \). Получилось квадратное уравнение стандартного вида.
Решаем квадратное уравнение \( x^2 — 7x — 30 = 0 \) через дискриминант. Коэффициенты: \( a = 1 \), \( b = -7 \), \( c = -30 \). Вычислим дискриминант по формуле \( D = b^2 — 4ac \): \( D = (-7)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169 \). Заметим, что \( 169 = 13^2 \), поэтому дискриминант является полным квадратом, что гарантирует два действительных корня. Применяем формулу корней квадратного уравнения: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm 13}{2} \).
Первый корень: \( x_1 = \frac{7 — 13}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \). Этот корень не подходит для нашей задачи, так как время не может быть отрицательным. Второй корень: \( x_2 = \frac{7 + 13}{2} = \frac{20}{2} = 10 \). Этот корень положительный и имеет физический смысл. Следовательно, второму крану потребуется 10 часов для самостоятельного заполнения бассейна.
Найдём время, необходимое первому крану. По условию первый кран работает на 5 часов дольше второго, поэтому: \( x + 5 = 10 + 5 = 15 \) часов. Первому крану потребуется 15 часов для самостоятельного заполнения бассейна. Проверим результат: производительность второго крана \( \frac{1}{10} \) бассейна в час, производительность первого крана \( \frac{1}{15} \) бассейна в час, суммарная производительность \( \frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{3}{30} + \frac{2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6} \) бассейна в час, время совместной работы \( 1 : \frac{1}{6} = 6 \) часов — условие задачи выполнено.
Таким образом, первому крану потребуется 15 часов, а второму крану потребуется 10 часов для самостоятельного заполнения бассейна.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!