ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 664 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Два 3D-принтера разной мощности изготовили за 2 ч 55 мин некоторое количество деталей. За какое время это количество деталей мог бы изготовить первый 3D-принтер, если известно, что ему для этого потребуется на 2 ч больше, чем второму 3D-принтеру?

Пусть первому принтеру потребуется на изготовление заказа \( x \) ч, тогда второму принтеру потребуется \( (x — 2) \) ч. Оба принтера могут изготовить это же количество деталей за \( 2 \) ч \( 55 \) мин \( = 2\frac{55}{60} = 2\frac{11}{12} = \frac{35}{12} \) ч.

Составим уравнение: \( \frac{1}{x} + \frac{1}{x-2} = 1 : \frac{35}{12} \)

\( \frac{1}{x} + \frac{1}{x-2} = \frac{12}{35} \)

\( 35(x-2) + 35x = 12x(x-2) \)

\( 35x — 70 + 35x = 12x^2 — 24x \)

\( 12x^2 — 24x — 70x + 70 = 0 \)

\( 12x^2 — 94x + 70 = 0 \) \( | : 2 \)

\( 6x^2 — 47x + 35 = 0 \)

\( D = 2209 — 4 \cdot 6 \cdot 35 = 2209 — 840 = 1369 = 37^2 \)

\( x_1 = \frac{47 — 37}{2 \cdot 6} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \) \( \Rightarrow \) не подходит,

\( x_2 = \frac{47 + 37}{2 \cdot 6} = \frac{84}{12} = 7 \) (ч) — потребуется первому принтеру.

Ответ: \( 7 \) ч.

Обозначим время, необходимое первому принтеру для изготовления заказа, как \( x \) часов. Тогда второму принтеру потребуется \( (x — 2) \) часов, так как он работает на 2 часа быстрее. Когда оба принтера работают одновременно, они могут выполнить этот же заказ за \( 2 \) часа \( 55 \) минут. Переведём это время в часы: \( 2 \) ч \( 55 \) мин \( = 2\frac{55}{60} = 2\frac{11}{12} = \frac{24 + 11}{12} = \frac{35}{12} \) часа. Это время совместной работы является ключевым параметром для составления уравнения.

Производительность первого принтера составляет \( \frac{1}{x} \) части заказа в час, а производительность второго принтера равна \( \frac{1}{x-2} \) части заказа в час. Когда принтеры работают вместе, их производительности складываются. Время совместной работы связано с суммарной производительностью формулой: суммарная производительность равна \( \frac{1}{\text{время совместной работы}} \). Следовательно, получаем уравнение: \( \frac{1}{x} + \frac{1}{x-2} = \frac{1}{\frac{35}{12}} = \frac{12}{35} \). Это уравнение отражает, что сумма производительностей обоих принтеров равна производительности при совместной работе.

Приведём левую часть уравнения к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей \( \frac{1}{x} \) и \( \frac{1}{x-2} \) равен \( x(x-2) \). Получаем: \( \frac{x-2}{x(x-2)} + \frac{x}{x(x-2)} = \frac{12}{35} \), что упрощается до \( \frac{x — 2 + x}{x(x-2)} = \frac{12}{35} \), или \( \frac{2x — 2}{x(x-2)} = \frac{12}{35} \). Применим свойство пропорции: \( 35(2x — 2) = 12x(x — 2) \). Раскроем скобки слева: \( 70x — 70 = 12x^2 — 24x \). Перенесём все члены в правую часть: \( 0 = 12x^2 — 24x — 70x + 70 \), откуда \( 12x^2 — 94x + 70 = 0 \).

Упростим квадратное уравнение, разделив все коэффициенты на 2: \( 6x^2 — 47x + 35 = 0 \). Для решения используем формулу дискриминанта: \( D = b^2 — 4ac = (-47)^2 — 4 \cdot 6 \cdot 35 = 2209 — 840 = 1369 \). Заметим, что \( 1369 = 37^2 \), поэтому дискриминант является полным квадратом, что гарантирует два рациональных корня. Применим формулу корней: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{47 \pm 37}{2 \cdot 6} = \frac{47 \pm 37}{12} \).

Вычислим оба корня. Первый корень: \( x_1 = \frac{47 — 37}{12} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \) часа. Однако этот корень не подходит для решения задачи, так как время второго принтера было бы \( x_1 — 2 = \frac{5}{6} — 2 = \frac{5 — 12}{6} = -\frac{7}{6} \) часа, что физически невозможно (время не может быть отрицательным). Второй корень: \( x_2 = \frac{47 + 37}{12} = \frac{84}{12} = 7 \) часов. Проверим: второму принтеру потребуется \( 7 — 2 = 5 \) часов, что является положительным значением и имеет физический смысл.

Проведём проверку полученного решения. Производительность первого принтера: \( \frac{1}{7} \) заказа в час. Производительность второго принтера: \( \frac{1}{5} \) заказа в час. Суммарная производительность: \( \frac{1}{7} + \frac{1}{5} = \frac{5 + 7}{35} = \frac{12}{35} \) заказа в час. Время совместной работы: \( \frac{1}{\frac{12}{35}} = \frac{35}{12} = 2\frac{11}{12} = 2 \) ч \( 55 \) мин, что совпадает с условием задачи. Таким образом, первому принтеру требуется ровно \( 7 \) часов для изготовления заказа.