Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 665 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Велосипедист проехал из посёлка до станции с некоторой постоянной скоростью, а возвращался со скоростью, на 5 км/ч большей. Какова была первоначальная скорость велосипедиста, если известно, что его средняя скорость на всём пути следования составляла 12 км/ч?
Пусть на первой половине пути скорость была \( x \) км/ч, а затем стала \( x — 20 \) км/ч.
Составим уравнение:
\( \frac{2}{\frac{1}{x} + \frac{1}{x-20}} = 37,5 \)
\( \frac{2}{\frac{x — 20 + x}{x^2 — 20x}} = 37,5 \)
\( \frac{2(x^2 — 20x)}{2x — 20} = 37,5 \)
\( \frac{2(x^2 — 20x)}{2(x — 10)} = 37,5 \)
\( x^2 — 20x = 37,5(x — 10) \)
\( x^2 — 20x — 37,5x + 375 = 0 \)
\( x^2 — 57,5x + 375 = 0 \) \( | \cdot 2 \)
\( 2x^2 — 115x + 750 = 0 \)
\( D = 13225 — 4 \cdot 2 \cdot 750 = 13225 — 6000 = 7225 = 85^2 \)
\( x_1 = \frac{115 — 85}{4} = \frac{30}{4} = 7,5 \) — не подходит,
\( x_2 = \frac{115 + 85}{4} = \frac{200}{4} = 50 \) (км/ч) — скорость мотоциклиста на первой половине пути.
Ответ: 50 км/ч.
Дана задача о движении мотоциклиста, который проехал путь с двумя разными скоростями. На первой половине пути его скорость составляла \( x \) км/ч, а на второй половине скорость уменьшилась на 20 км/ч, то есть стала \( x — 20 \) км/ч. Средняя скорость на всём пути равна 37,5 км/ч. Необходимо найти скорость мотоциклиста на первой половине пути.
Для решения этой задачи используем формулу средней скорости. Если путь разделён на две равные части и известны скорости на каждой части, то средняя скорость вычисляется по формуле среднего гармонического: \( v_{\text{ср}} = \frac{2}{\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}} \), где \( v_1 \) и \( v_2 \) — скорости на первой и второй половинах пути соответственно. Подставляем известные значения: \( v_1 = x \) км/ч, \( v_2 = x — 20 \) км/ч и \( v_{\text{ср}} = 37,5 \) км/ч.
Составляем уравнение на основе формулы средней скорости:
\( \frac{2}{\frac{1}{x} + \frac{1}{x-20}} = 37,5 \)
Упростим знаменатель левой части. Приведём дроби к общему знаменателю:
\( \frac{1}{x} + \frac{1}{x-20} = \frac{x — 20 + x}{x(x-20)} = \frac{2x — 20}{x^2 — 20x} \)
Подставляем это выражение в исходное уравнение:
\( \frac{2}{\frac{2x — 20}{x^2 — 20x}} = 37,5 \)
При делении на дробь переворачиваем её:
\( \frac{2(x^2 — 20x)}{2x — 20} = 37,5 \)
Вынесем общий множитель 2 из числителя и знаменателя:
\( \frac{2(x^2 — 20x)}{2(x — 10)} = 37,5 \)
Сокращаем на 2:
\( \frac{x^2 — 20x}{x — 10} = 37,5 \)
Умножаем обе части уравнения на \( (x — 10) \):
\( x^2 — 20x = 37,5(x — 10) \)
Раскрываем скобки в правой части:
\( x^2 — 20x = 37,5x — 375 \)
Переносим все члены в левую часть:
\( x^2 — 20x — 37,5x + 375 = 0 \)
Приводим подобные члены:
\( x^2 — 57,5x + 375 = 0 \)
Для удобства решения умножаем уравнение на 2, чтобы избавиться от десятичных коэффициентов:
\( 2x^2 — 115x + 750 = 0 \)
Решаем квадратное уравнение через дискриминант. Вычислим дискриминант:
\( D = b^2 — 4ac = (-115)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 750 = 13225 — 6000 = 7225 \)
Заметим, что \( 7225 = 85^2 \), поэтому дискриминант является полным квадратом, что гарантирует два действительных корня.
Находим корни по формуле:
\( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{115 \pm 85}{4} \)
Первый корень:
\( x_1 = \frac{115 — 85}{4} = \frac{30}{4} = 7,5 \)
Второй корень:
\( x_2 = \frac{115 + 85}{4} = \frac{200}{4} = 50 \)
Проверим оба корня на соответствие условиям задачи. Для первого корня \( x_1 = 7,5 \) км/ч скорость на второй половине пути была бы \( 7,5 — 20 = -12,5 \) км/ч, что физически невозможно (скорость не может быть отрицательной). Поэтому этот корень не подходит.
Для второго корня \( x_2 = 50 \) км/ч скорость на второй половине пути составляет \( 50 — 20 = 30 \) км/ч, что является положительным значением и имеет физический смысл. Проверим: средняя скорость равна \( \frac{2}{\frac{1}{50} + \frac{1}{30}} = \frac{2}{\frac{3 + 5}{150}} = \frac{2 \cdot 150}{8} = \frac{300}{8} = 37,5 \) км/ч — верно.
Скорость мотоциклиста на первой половине пути составляет 50 км/ч.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!