ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 665 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Велосипедист проехал из посёлка до станции с некоторой постоянной скоростью, а возвращался со скоростью, на 5 км/ч большей. Какова была первоначальная скорость велосипедиста, если известно, что его средняя скорость на всём пути следования составляла 12 км/ч?

Пусть на первой половине пути скорость была \( x \) км/ч, а затем стала \( x — 20 \) км/ч.

Составим уравнение:

\( \frac{2}{\frac{1}{x} + \frac{1}{x-20}} = 37,5 \)

\( \frac{2}{\frac{x — 20 + x}{x^2 — 20x}} = 37,5 \)

\( \frac{2(x^2 — 20x)}{2x — 20} = 37,5 \)

\( \frac{2(x^2 — 20x)}{2(x — 10)} = 37,5 \)

\( x^2 — 20x = 37,5(x — 10) \)

\( x^2 — 20x — 37,5x + 375 = 0 \)

\( x^2 — 57,5x + 375 = 0 \) \( | \cdot 2 \)

\( 2x^2 — 115x + 750 = 0 \)

\( D = 13225 — 4 \cdot 2 \cdot 750 = 13225 — 6000 = 7225 = 85^2 \)

\( x_1 = \frac{115 — 85}{4} = \frac{30}{4} = 7,5 \) — не подходит,

\( x_2 = \frac{115 + 85}{4} = \frac{200}{4} = 50 \) (км/ч) — скорость мотоциклиста на первой половине пути.

Ответ: 50 км/ч.

Дана задача о движении мотоциклиста, который проехал путь с двумя разными скоростями. На первой половине пути его скорость составляла \( x \) км/ч, а на второй половине скорость уменьшилась на 20 км/ч, то есть стала \( x — 20 \) км/ч. Средняя скорость на всём пути равна 37,5 км/ч. Необходимо найти скорость мотоциклиста на первой половине пути.

Для решения этой задачи используем формулу средней скорости. Если путь разделён на две равные части и известны скорости на каждой части, то средняя скорость вычисляется по формуле среднего гармонического: \( v_{\text{ср}} = \frac{2}{\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}} \), где \( v_1 \) и \( v_2 \) — скорости на первой и второй половинах пути соответственно. Подставляем известные значения: \( v_1 = x \) км/ч, \( v_2 = x — 20 \) км/ч и \( v_{\text{ср}} = 37,5 \) км/ч.

Составляем уравнение на основе формулы средней скорости:

\( \frac{2}{\frac{1}{x} + \frac{1}{x-20}} = 37,5 \)

Упростим знаменатель левой части. Приведём дроби к общему знаменателю:

\( \frac{1}{x} + \frac{1}{x-20} = \frac{x — 20 + x}{x(x-20)} = \frac{2x — 20}{x^2 — 20x} \)

Подставляем это выражение в исходное уравнение:

\( \frac{2}{\frac{2x — 20}{x^2 — 20x}} = 37,5 \)

При делении на дробь переворачиваем её:

\( \frac{2(x^2 — 20x)}{2x — 20} = 37,5 \)

Вынесем общий множитель 2 из числителя и знаменателя:

\( \frac{2(x^2 — 20x)}{2(x — 10)} = 37,5 \)

Сокращаем на 2:

\( \frac{x^2 — 20x}{x — 10} = 37,5 \)

Умножаем обе части уравнения на \( (x — 10) \):

\( x^2 — 20x = 37,5(x — 10) \)

Раскрываем скобки в правой части:

\( x^2 — 20x = 37,5x — 375 \)

Переносим все члены в левую часть:

\( x^2 — 20x — 37,5x + 375 = 0 \)

Приводим подобные члены:

\( x^2 — 57,5x + 375 = 0 \)

Для удобства решения умножаем уравнение на 2, чтобы избавиться от десятичных коэффициентов:

\( 2x^2 — 115x + 750 = 0 \)

Решаем квадратное уравнение через дискриминант. Вычислим дискриминант:

\( D = b^2 — 4ac = (-115)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 750 = 13225 — 6000 = 7225 \)

Заметим, что \( 7225 = 85^2 \), поэтому дискриминант является полным квадратом, что гарантирует два действительных корня.

Находим корни по формуле:

\( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{115 \pm 85}{4} \)

Первый корень:

\( x_1 = \frac{115 — 85}{4} = \frac{30}{4} = 7,5 \)

Второй корень:

\( x_2 = \frac{115 + 85}{4} = \frac{200}{4} = 50 \)

Проверим оба корня на соответствие условиям задачи. Для первого корня \( x_1 = 7,5 \) км/ч скорость на второй половине пути была бы \( 7,5 — 20 = -12,5 \) км/ч, что физически невозможно (скорость не может быть отрицательной). Поэтому этот корень не подходит.

Для второго корня \( x_2 = 50 \) км/ч скорость на второй половине пути составляет \( 50 — 20 = 30 \) км/ч, что является положительным значением и имеет физический смысл. Проверим: средняя скорость равна \( \frac{2}{\frac{1}{50} + \frac{1}{30}} = \frac{2}{\frac{3 + 5}{150}} = \frac{2 \cdot 150}{8} = \frac{300}{8} = 37,5 \) км/ч — верно.

Скорость мотоциклиста на первой половине пути составляет 50 км/ч.