Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 666 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Мотоциклист половину пути проехал с некоторой постоянной скоростью, а затем снизил скорость на 20 км/ч. Какова была скорость мотоциклиста на первой половине пути, если известно, что средняя скорость на всём пути составила 37,5 км/ч?
Пусть на первой половине пути скорость была \( x \) км/ч, а на второй половине \( x — 20 \) км/ч. Время в пути на первой половине равно \( \frac{1}{x} \), на второй половине \( \frac{1}{x — 20} \). Средняя скорость 37,5 км/ч означает, что \( \frac{1}{x} + \frac{1}{x — 20} = \frac{2}{37,5} \).
Приводим к общему знаменателю левую часть:
\( \frac{x — 20 + x}{x(x — 20)} = \frac{2x — 20}{x(x — 20)} = \frac{4}{75} \)
Перекрёстное умножение даёт:
\( 75(2x — 20) = 4x(x — 20) \)
\( 150x — 1500 = 4x^2 — 80x \)
\( 4x^2 — 230x + 1500 = 0 \)
\( 2x^2 — 115x + 750 = 0 \)
Вычисляем дискриминант:
\( D = 115^2 — 4 \cdot 2 \cdot 750 = 13225 — 6000 = 7225 = 85^2 \)
Находим корни:
\( x_1 = \frac{115 — 85}{4} = \frac{30}{4} = 7,5 \) — не подходит, так как \( 7,5 — 20 = -12,5 < 0 \) \( x_2 = \frac{115 + 85}{4} = \frac{200}{4} = 50 \) км/ч — скорость на первой половине пути Проверка: \( \frac{1}{50} + \frac{1}{30} = \frac{3 + 5}{150} = \frac{8}{150} = \frac{4}{75} = \frac{2}{37,5} \) ✓ Ответ: 50 км/ч
Обозначим скорость на первой половине пути как \( x \) км/ч. По условию задачи на второй половине пути скорость составила \( x — 20 \) км/ч. Время прохождения первой половины пути равно \( \frac{1}{x} \) часа (так как расстояние принимаем за единицу), а время прохождения второй половины пути равно \( \frac{1}{x — 20} \) часа. Среднее время прохождения всего пути составило \( \frac{1}{37,5} \) часа, что соответствует средней скорости 37,5 км/ч. Составляем уравнение, учитывая, что сумма времён на обеих половинах пути равна общему времени: \( \frac{1}{x} + \frac{1}{x — 20} = \frac{2}{37,5} \).
Приводим левую часть уравнения к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей \( \frac{1}{x} \) и \( \frac{1}{x — 20} \) равен \( x(x — 20) \). После приведения получаем: \( \frac{x — 20 + x}{x(x — 20)} = \frac{2x — 20}{x(x — 20)} \). Правую часть уравнения преобразуем: \( \frac{2}{37,5} = \frac{2}{\frac{75}{2}} = \frac{4}{75} \). Таким образом, уравнение принимает вид: \( \frac{2x — 20}{x(x — 20)} = \frac{4}{75} \).
Выполняем перекрёстное умножение: \( 75(2x — 20) = 4x(x — 20) \). Раскрываем скобки: \( 150x — 1500 = 4x^2 — 80x \). Переносим все члены в одну сторону: \( 4x^2 — 80x — 150x + 1500 = 0 \), откуда \( 4x^2 — 230x + 1500 = 0 \). Делим всё уравнение на 2 для упрощения: \( 2x^2 — 115x + 750 = 0 \).
Вычисляем дискриминант по формуле \( D = b^2 — 4ac \): \( D = (-115)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 750 = 13225 — 6000 = 7225 = 85^2 \). Дискриминант является полным квадратом, что позволяет найти два действительных корня. По формуле корней квадратного уравнения: \( x_1 = \frac{115 — 85}{4} = \frac{30}{4} = 7,5 \) и \( x_2 = \frac{115 + 85}{4} = \frac{200}{4} = 50 \).
Проверяем полученные корни на соответствие условиям задачи. Для корня \( x_1 = 7,5 \) км/ч скорость на второй половине пути была бы \( 7,5 — 20 = -12,5 \) км/ч, что физически невозможно, так как скорость не может быть отрицательной. Следовательно, этот корень не подходит. Для корня \( x_2 = 50 \) км/ч скорость на второй половине пути составляет \( 50 — 20 = 30 \) км/ч, что является положительным значением и удовлетворяет условиям задачи.
Проверим корректность решения, подставив \( x = 50 \) в исходное уравнение: \( \frac{1}{50} + \frac{1}{30} = \frac{3 + 5}{150} = \frac{8}{150} = \frac{4}{75} \). Это равно \( \frac{2}{37,5} \), что подтверждает правильность найденного решения. Таким образом, скорость мотоциклиста на первой половине пути составляла 50 км/ч.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!