Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 667 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Докажите, что:
а) \( \frac{1}{11 + 2\sqrt{30}} + \frac{1}{11 — 2\sqrt{30}} = 22 \)
б) \( \frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} — 2} + \frac{\sqrt{5} — 2}{\sqrt{5} + 2} = 18 \)
а) \( \frac{1}{11 + 2\sqrt{30}} + \frac{1}{11 — 2\sqrt{30}} = 22 \)
\( \frac{11 — 2\sqrt{30} + 11 + 2\sqrt{30}}{(11 + 2\sqrt{30})(11 — 2\sqrt{30})} = 22 \)
\( \frac{22}{121 — 4 \cdot 30} = 22 \)
\( \frac{22}{121 — 120} = 22 \)
\( \frac{22}{1} = 22 \)
\( 22 = 22 \) — верно.
б) \( \frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} — 2} + \frac{\sqrt{5} — 2}{\sqrt{5} + 2} = 18 \)
\( \frac{(\sqrt{5} + 2)^2 + (\sqrt{5} — 2)^2}{(\sqrt{5} — 2)(\sqrt{5} + 2)} = 18 \)
\( \frac{5 + 4\sqrt{5} + 4 + 5 — 4\sqrt{5} + 4}{5 — 4} = 18 \)
\( \frac{18}{1} = 18 \)
\( 18 = 18 \) — верно.а) \( \frac{1}{11 + 2\sqrt{30}} + \frac{1}{11 — 2\sqrt{30}} = 22 \)
\( \frac{11 — 2\sqrt{30} + 11 + 2\sqrt{30}}{(11 + 2\sqrt{30})(11 — 2\sqrt{30})} = 22 \)
\( \frac{22}{121 — 4 \cdot 30} = 22 \)
\( \frac{22}{121 — 120} = 22 \)
\( \frac{22}{1} = 22 \)
\( 22 = 22 \) — верно.
б) \( \frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} — 2} + \frac{\sqrt{5} — 2}{\sqrt{5} + 2} = 18 \)
\( \frac{(\sqrt{5} + 2)^2 + (\sqrt{5} — 2)^2}{(\sqrt{5} — 2)(\sqrt{5} + 2)} = 18 \)
\( \frac{5 + 4\sqrt{5} + 4 + 5 — 4\sqrt{5} + 4}{5 — 4} = 18 \)
\( \frac{18}{1} = 18 \)
\( 18 = 18 \) — верно.
а) \( \frac{1}{11 + 2\sqrt{30}} + \frac{1}{11 — 2\sqrt{30}} = 22 \)
Для решения этого выражения необходимо привести дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель будет произведением обоих знаменателей: \( (11 + 2\sqrt{30})(11 — 2\sqrt{30}) \). В числителе получится сумма: \( (11 — 2\sqrt{30}) + (11 + 2\sqrt{30}) \). Заметим, что иррациональные части \( -2\sqrt{30} \) и \( +2\sqrt{30} \) взаимно уничтожаются, оставляя только \( 11 + 11 = 22 \).
Знаменатель вычисляется по формуле разности квадратов \( (a + b)(a — b) = a^2 — b^2 \), где \( a = 11 \) и \( b = 2\sqrt{30} \). Получаем: \( 11^2 — (2\sqrt{30})^2 = 121 — 4 \cdot 30 = 121 — 120 = 1 \). Таким образом, вся дробь принимает вид \( \frac{22}{1} = 22 \), что и требовалось доказать. Равенство \( 22 = 22 \) верно, следовательно, исходное выражение доказано.
б) \( \frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} — 2} + \frac{\sqrt{5} — 2}{\sqrt{5} + 2} = 18 \)
Приведём обе дроби к общему знаменателю, который равен \( (\sqrt{5} — 2)(\sqrt{5} + 2) \). В числителе получится сумма квадратов: \( (\sqrt{5} + 2)^2 + (\sqrt{5} — 2)^2 \). Раскроем первый квадрат: \( (\sqrt{5} + 2)^2 = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2 + 2^2 = 5 + 4\sqrt{5} + 4 \). Раскроем второй квадрат: \( (\sqrt{5} — 2)^2 = (\sqrt{5})^2 — 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2 + 2^2 = 5 — 4\sqrt{5} + 4 \).
При сложении этих выражений иррациональные части \( +4\sqrt{5} \) и \( -4\sqrt{5} \) взаимно уничтожаются, остаётся только рациональная часть: \( 5 + 4 + 5 + 4 = 18 \). Знаменатель вычисляется по формуле разности квадратов: \( (\sqrt{5})^2 — 2^2 = 5 — 4 = 1 \). Следовательно, вся дробь равна \( \frac{18}{1} = 18 \), что и требовалось доказать. Равенство \( 18 = 18 \) верно, поэтому исходное выражение доказано.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!