ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 667 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что:

а) \( \frac{1}{11 + 2\sqrt{30}} + \frac{1}{11 — 2\sqrt{30}} = 22 \)

б) \( \frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} — 2} + \frac{\sqrt{5} — 2}{\sqrt{5} + 2} = 18 \)

а) \( \frac{1}{11 + 2\sqrt{30}} + \frac{1}{11 — 2\sqrt{30}} = 22 \)

\( \frac{11 — 2\sqrt{30} + 11 + 2\sqrt{30}}{(11 + 2\sqrt{30})(11 — 2\sqrt{30})} = 22 \)

\( \frac{22}{121 — 4 \cdot 30} = 22 \)

\( \frac{22}{121 — 120} = 22 \)

\( \frac{22}{1} = 22 \)

\( 22 = 22 \) — верно.

б) \( \frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} — 2} + \frac{\sqrt{5} — 2}{\sqrt{5} + 2} = 18 \)

\( \frac{(\sqrt{5} + 2)^2 + (\sqrt{5} — 2)^2}{(\sqrt{5} — 2)(\sqrt{5} + 2)} = 18 \)

\( \frac{5 + 4\sqrt{5} + 4 + 5 — 4\sqrt{5} + 4}{5 — 4} = 18 \)

\( \frac{18}{1} = 18 \)

\( 18 = 18 \) — верно.а) \( \frac{1}{11 + 2\sqrt{30}} + \frac{1}{11 — 2\sqrt{30}} = 22 \)

\( \frac{11 — 2\sqrt{30} + 11 + 2\sqrt{30}}{(11 + 2\sqrt{30})(11 — 2\sqrt{30})} = 22 \)

\( \frac{22}{121 — 4 \cdot 30} = 22 \)

\( \frac{22}{121 — 120} = 22 \)

\( \frac{22}{1} = 22 \)

\( 22 = 22 \) — верно.

б) \( \frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} — 2} + \frac{\sqrt{5} — 2}{\sqrt{5} + 2} = 18 \)

\( \frac{(\sqrt{5} + 2)^2 + (\sqrt{5} — 2)^2}{(\sqrt{5} — 2)(\sqrt{5} + 2)} = 18 \)

\( \frac{5 + 4\sqrt{5} + 4 + 5 — 4\sqrt{5} + 4}{5 — 4} = 18 \)

\( \frac{18}{1} = 18 \)

\( 18 = 18 \) — верно.

а) \( \frac{1}{11 + 2\sqrt{30}} + \frac{1}{11 — 2\sqrt{30}} = 22 \)

Для решения этого выражения необходимо привести дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель будет произведением обоих знаменателей: \( (11 + 2\sqrt{30})(11 — 2\sqrt{30}) \). В числителе получится сумма: \( (11 — 2\sqrt{30}) + (11 + 2\sqrt{30}) \). Заметим, что иррациональные части \( -2\sqrt{30} \) и \( +2\sqrt{30} \) взаимно уничтожаются, оставляя только \( 11 + 11 = 22 \).

Знаменатель вычисляется по формуле разности квадратов \( (a + b)(a — b) = a^2 — b^2 \), где \( a = 11 \) и \( b = 2\sqrt{30} \). Получаем: \( 11^2 — (2\sqrt{30})^2 = 121 — 4 \cdot 30 = 121 — 120 = 1 \). Таким образом, вся дробь принимает вид \( \frac{22}{1} = 22 \), что и требовалось доказать. Равенство \( 22 = 22 \) верно, следовательно, исходное выражение доказано.

б) \( \frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} — 2} + \frac{\sqrt{5} — 2}{\sqrt{5} + 2} = 18 \)

Приведём обе дроби к общему знаменателю, который равен \( (\sqrt{5} — 2)(\sqrt{5} + 2) \). В числителе получится сумма квадратов: \( (\sqrt{5} + 2)^2 + (\sqrt{5} — 2)^2 \). Раскроем первый квадрат: \( (\sqrt{5} + 2)^2 = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2 + 2^2 = 5 + 4\sqrt{5} + 4 \). Раскроем второй квадрат: \( (\sqrt{5} — 2)^2 = (\sqrt{5})^2 — 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2 + 2^2 = 5 — 4\sqrt{5} + 4 \).

При сложении этих выражений иррациональные части \( +4\sqrt{5} \) и \( -4\sqrt{5} \) взаимно уничтожаются, остаётся только рациональная часть: \( 5 + 4 + 5 + 4 = 18 \). Знаменатель вычисляется по формуле разности квадратов: \( (\sqrt{5})^2 — 2^2 = 5 — 4 = 1 \). Следовательно, вся дробь равна \( \frac{18}{1} = 18 \), что и требовалось доказать. Равенство \( 18 = 18 \) верно, поэтому исходное выражение доказано.