ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 668 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:

а) \( \frac{xy}{x+y} \) при \( x = 5 + 2\sqrt{6} \), \( y = 5 — 2\sqrt{6} \);

б) \( \frac{x^2 + y^2}{xy} \) при \( x = \sqrt{11} + \sqrt{3} \), \( y = \sqrt{11} — \sqrt{3} \).

а) при \( x = 5 + 2\sqrt{6} \), \( y = 5 — 2\sqrt{6} \)

\( \frac{xy}{x+y} = \frac{\left(5+2\sqrt{6}\right)\left(5-2\sqrt{6}\right)}{5+2\sqrt{6}+5-2\sqrt{6}} = \frac{25-4 \cdot 6}{10} = \frac{25-24}{10} = \frac{1}{10} = 0,1 \)

б) при \( x = \sqrt{11} + \sqrt{3} \), \( y = \sqrt{11} — \sqrt{3} \)

\( \frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{\left(\sqrt{11}+\sqrt{3}\right)^2 + \left(\sqrt{11}-\sqrt{3}\right)^2}{\left(\sqrt{11}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{11}-\sqrt{3}\right)} = \) \( = \frac{11+2\sqrt{33}+3+11-2\sqrt{33}+3}{11-3} = \frac{28}{8} = 3,5 \)

а) при \( x = 5 + 2\sqrt{6} \), \( y = 5 — 2\sqrt{6} \) необходимо найти значение выражения \( \frac{xy}{x+y} \). Для решения этой задачи применим метод разности квадратов в числителе и заметим, что знаменатель представляет собой сумму двух выражений, содержащих иррациональные части, которые взаимно сокращаются. В числителе произведение \( xy = \left(5+2\sqrt{6}\right)\left(5-2\sqrt{6}\right) \) является произведением суммы и разности, поэтому применяется формула разности квадратов: \( \left(a+b\right)\left(a-b\right) = a^2 — b^2 \).

Вычислим числитель: \( xy = 5^2 — \left(2\sqrt{6}\right)^2 = 25 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1 \). Знаменатель находится путём прямого сложения: \( x + y = 5 + 2\sqrt{6} + 5 — 2\sqrt{6} = 10 \), так как иррациональные части \( 2\sqrt{6} \) и \( -2\sqrt{6} \) взаимно уничтожаются, оставляя только рациональную часть. Таким образом, \( \frac{xy}{x+y} = \frac{1}{10} = 0,1 \). Этот результат демонстрирует эффективность применения алгебраических формул сокращённого умножения для упрощения выражений с радикалами.

б) при \( x = \sqrt{11} + \sqrt{3} \), \( y = \sqrt{11} — \sqrt{3} \) требуется вычислить \( \frac{x^2 + y^2}{xy} \). Для решения разложим числитель, раскрыв квадраты каждого слагаемого отдельно. Возведём в квадрат первое выражение: \( \left(\sqrt{11}+\sqrt{3}\right)^2 = \left(\sqrt{11}\right)^2 + 2 \cdot \sqrt{11} \cdot \sqrt{3} + \left(\sqrt{3}\right)^2 = 11 + 2\sqrt{33} + 3 =\) \(= 14 + 2\sqrt{33} \). Аналогично для второго: \( \left(\sqrt{11}-\sqrt{3}\right)^2 = \left(\sqrt{11}\right)^2 — 2 \cdot \sqrt{11} \cdot \sqrt{3} + \left(\sqrt{3}\right)^2 = 11 — 2\sqrt{33} + 3 =\) \(= 14 — 2\sqrt{33} \).

Сложим полученные квадраты: \( x^2 + y^2 = 14 + 2\sqrt{33} + 14 — 2\sqrt{33} = 28 \). Заметим, что слагаемые с корнем \( 2\sqrt{33} \) и \( -2\sqrt{33} \) взаимно сокращаются, что является следствием применения формулы \( \left(a+b\right)^2 + \left(a-b\right)^2 = 2\left(a^2 + b^2\right) \). Для знаменателя применим формулу разности квадратов: \( xy = \left(\sqrt{11}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{11}-\sqrt{3}\right) = \left(\sqrt{11}\right)^2 — \left(\sqrt{3}\right)^2 = 11 — 3 = 8 \).

Окончательно вычислим искомое отношение: \( \frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{28}{8} = \frac{7}{2} = 3,5 \). Данный пример иллюстрирует важное свойство: при работе с сопряжёнными выражениями вида \( a + b \) и \( a — b \) сумма их квадратов всегда содержит удвоенное произведение корней, которое сокращается, а произведение даёт разность квадратов подкоренных выражений, что существенно упрощает вычисления.