Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 668 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Найдите значение выражения:
а) \( \frac{xy}{x+y} \) при \( x = 5 + 2\sqrt{6} \), \( y = 5 — 2\sqrt{6} \);
б) \( \frac{x^2 + y^2}{xy} \) при \( x = \sqrt{11} + \sqrt{3} \), \( y = \sqrt{11} — \sqrt{3} \).
а) при \( x = 5 + 2\sqrt{6} \), \( y = 5 — 2\sqrt{6} \)
\( \frac{xy}{x+y} = \frac{\left(5+2\sqrt{6}\right)\left(5-2\sqrt{6}\right)}{5+2\sqrt{6}+5-2\sqrt{6}} = \frac{25-4 \cdot 6}{10} = \frac{25-24}{10} = \frac{1}{10} = 0,1 \)
б) при \( x = \sqrt{11} + \sqrt{3} \), \( y = \sqrt{11} — \sqrt{3} \)
\( \frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{\left(\sqrt{11}+\sqrt{3}\right)^2 + \left(\sqrt{11}-\sqrt{3}\right)^2}{\left(\sqrt{11}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{11}-\sqrt{3}\right)} = \) \( = \frac{11+2\sqrt{33}+3+11-2\sqrt{33}+3}{11-3} = \frac{28}{8} = 3,5 \)
а) при \( x = 5 + 2\sqrt{6} \), \( y = 5 — 2\sqrt{6} \) необходимо найти значение выражения \( \frac{xy}{x+y} \). Для решения этой задачи применим метод разности квадратов в числителе и заметим, что знаменатель представляет собой сумму двух выражений, содержащих иррациональные части, которые взаимно сокращаются. В числителе произведение \( xy = \left(5+2\sqrt{6}\right)\left(5-2\sqrt{6}\right) \) является произведением суммы и разности, поэтому применяется формула разности квадратов: \( \left(a+b\right)\left(a-b\right) = a^2 — b^2 \).
Вычислим числитель: \( xy = 5^2 — \left(2\sqrt{6}\right)^2 = 25 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1 \). Знаменатель находится путём прямого сложения: \( x + y = 5 + 2\sqrt{6} + 5 — 2\sqrt{6} = 10 \), так как иррациональные части \( 2\sqrt{6} \) и \( -2\sqrt{6} \) взаимно уничтожаются, оставляя только рациональную часть. Таким образом, \( \frac{xy}{x+y} = \frac{1}{10} = 0,1 \). Этот результат демонстрирует эффективность применения алгебраических формул сокращённого умножения для упрощения выражений с радикалами.
б) при \( x = \sqrt{11} + \sqrt{3} \), \( y = \sqrt{11} — \sqrt{3} \) требуется вычислить \( \frac{x^2 + y^2}{xy} \). Для решения разложим числитель, раскрыв квадраты каждого слагаемого отдельно. Возведём в квадрат первое выражение: \( \left(\sqrt{11}+\sqrt{3}\right)^2 = \left(\sqrt{11}\right)^2 + 2 \cdot \sqrt{11} \cdot \sqrt{3} + \left(\sqrt{3}\right)^2 = 11 + 2\sqrt{33} + 3 =\) \(= 14 + 2\sqrt{33} \). Аналогично для второго: \( \left(\sqrt{11}-\sqrt{3}\right)^2 = \left(\sqrt{11}\right)^2 — 2 \cdot \sqrt{11} \cdot \sqrt{3} + \left(\sqrt{3}\right)^2 = 11 — 2\sqrt{33} + 3 =\) \(= 14 — 2\sqrt{33} \).
Сложим полученные квадраты: \( x^2 + y^2 = 14 + 2\sqrt{33} + 14 — 2\sqrt{33} = 28 \). Заметим, что слагаемые с корнем \( 2\sqrt{33} \) и \( -2\sqrt{33} \) взаимно сокращаются, что является следствием применения формулы \( \left(a+b\right)^2 + \left(a-b\right)^2 = 2\left(a^2 + b^2\right) \). Для знаменателя применим формулу разности квадратов: \( xy = \left(\sqrt{11}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{11}-\sqrt{3}\right) = \left(\sqrt{11}\right)^2 — \left(\sqrt{3}\right)^2 = 11 — 3 = 8 \).
Окончательно вычислим искомое отношение: \( \frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{28}{8} = \frac{7}{2} = 3,5 \). Данный пример иллюстрирует важное свойство: при работе с сопряжёнными выражениями вида \( a + b \) и \( a — b \) сумма их квадратов всегда содержит удвоенное произведение корней, которое сокращается, а произведение даёт разность квадратов подкоренных выражений, что существенно упрощает вычисления.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!