ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 669 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Найдите значение \( q \), при котором разность корней уравнения \( x^2 — 10x + q = 0 \) равна 6.

Дано уравнение \( x^2 — 10x + q = 0 \) с условием \( x_1 — x_2 = 6 \).

По теореме Виета для квадратного уравнения: \( x_1 + x_2 = 10 \) и \( x_1 x_2 = q \).

Из условия \( x_1 — x_2 = 6 \) и \( x_1 + x_2 = 10 \) получаем систему:

\( 2x_1 = 16 \) \( \Rightarrow \) \( x_1 = 8 \)

\( x_2 = 10 — x_1 \) \( \Rightarrow \) \( x_2 = 10 — 8 \) \( \Rightarrow \) \( x_2 = 2 \)

Находим \( q \) по формуле произведения корней:

\( x_1 x_2 = q \)

\( 8 \cdot 2 = q \)

\( q = 16 \)

Ответ: \( q = 16 \).

Рассмотрим квадратное уравнение \( x^2 — 10x + q = 0 \), для которого известно, что разность корней равна 6, то есть \( x_1 — x_2 = 6 \). Нам требуется найти значение параметра \( q \), который представляет собой свободный член уравнения. Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Виета, которая устанавливает связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями. Согласно теореме Виета, для уравнения вида \( x^2 + bx + c = 0 \) сумма корней равна \( -b \), а произведение корней равно \( c \).

В нашем случае уравнение имеет вид \( x^2 — 10x + q = 0 \), поэтому по теореме Виета получаем два соотношения: сумма корней \( x_1 + x_2 = 10 \) (коэффициент при \( x \) равен \( -10 \), поэтому сумма корней равна 10) и произведение корней \( x_1 x_2 = q \) (свободный член равен \( q \)). Эти два условия вместе с дополнительным условием \( x_1 — x_2 = 6 \) образуют систему, которая позволит нам найти оба корня, а затем и значение \( q \).

Составим систему уравнений из трёх условий: \( x_1 — x_2 = 6 \), \( x_1 + x_2 = 10 \) и \( x_1 x_2 = q \). Первые два уравнения содержат две неизвестные величины \( x_1 \) и \( x_2 \), поэтому мы можем их решить. Сложим первое и второе уравнения: \( (x_1 — x_2) + (x_1 + x_2) = 6 + 10 \), что даёт нам \( 2x_1 = 16 \), откуда \( x_1 = 8 \). Это первый корень уравнения, который мы нашли путём сложения двух уравнений системы.

Теперь найдём второй корень \( x_2 \), используя условие суммы корней. Из уравнения \( x_1 + x_2 = 10 \) подставим найденное значение \( x_1 = 8 \): получаем \( 8 + x_2 = 10 \), следовательно, \( x_2 = 10 — 8 = 2 \). Проверим, что разность корней действительно равна 6: \( x_1 — x_2 = 8 — 2 = 6 \) — условие выполнено. Таким образом, мы корректно определили оба корня квадратного уравнения.

Теперь применим третье условие из теоремы Виета для нахождения параметра \( q \). Произведение корней равно свободному члену: \( x_1 x_2 = q \). Подставим найденные значения корней: \( q = 8 \cdot 2 = 16 \). Это и есть искомое значение параметра \( q \). Таким образом, исходное квадратное уравнение имеет вид \( x^2 — 10x + 16 = 0 \), и его корнями являются числа 8 и 2, разность которых равна 6, а произведение равно 16.