ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 67 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Преобразуйте в дробь выражение:
а) \(\frac{x^2}{x^2-16} — \frac{8(x-2)}{x^2-16};\)
б) \(\frac{64 — 2ab}{(a-8)^2} + \frac{2ab — a^2}{(8-a)^2}.\)

а) \(\frac{x^2 — 8(x — 2)}{x^2 — 16} = \frac{x^2 — 8x + 16}{(x — 4)(x + 4)} = \frac{(x — 4)^2}{(x — 4)(x + 4)} = \frac{x — 4}{x + 4}\)

б) \(\frac{64 — 2ab}{(a — 8)^2} + \frac{2ab — a^2}{(8 — a)^2} = \frac{64 — 2ab + 2ab — a^2}{(a — 8)^2} = \frac{64 — a^2}{(a — 8)^2} = \frac{(8 — a)(8 + a)}{(a — 8)^2} = \frac{8 + a}{8 — a}\)

а) Начинаем с выражения \(\frac{x^2 — 8(x — 2)}{x^2 — 16}\). В числителе раскрываем скобки: \(x^2 — 8x + 16\). Знаменатель \(x^2 — 16\) распознаём как разность квадратов, которую можно разложить на множители: \((x — 4)(x + 4)\). Следовательно, дробь принимает вид \(\frac{x^2 — 8x + 16}{(x — 4)(x + 4)}\).

Теперь замечаем, что числитель — это квадрат бинома: \((x — 4)^2\), так как \(x^2 — 8x + 16 = (x — 4)(x — 4)\). Подставляем это в дробь: \(\frac{(x — 4)^2}{(x — 4)(x + 4)}\). При условии, что \(x \neq 4\), можно сократить общий множитель \((x — 4)\) в числителе и знаменателе. В итоге получаем \(\frac{x — 4}{x + 4}\).

б) Рассмотрим выражение \(\frac{64 — 2ab}{(a — 8)^2} + \frac{2ab — a^2}{(8 — a)^2}\). Сначала обратим внимание, что \((8 — a)^2 = (a — 8)^2\), так как возведение в квадрат убирает знак минуса. Значит, знаменатели одинаковы и можно их объединить.

Складываем числители: \(64 — 2ab + 2ab — a^2 = 64 — a^2\). Получаем дробь \(\frac{64 — a^2}{(a — 8)^2}\). Числитель — разность квадратов, её раскладываем: \((8 — a)(8 + a)\). Знаменатель — квадрат разности: \((a — 8)^2\).

Обращаем внимание, что \(8 — a = -(a — 8)\), поэтому \(\frac{(8 — a)(8 + a)}{(a — 8)^2} = \frac{-(a — 8)(8 + a)}{(a — 8)^2} = \frac{-(8 + a)}{a — 8}\). Меняем знак в числителе и знаменателе, получаем \(\frac{8 + a}{8 — a}\).