Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 670 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Составьте квадратное уравнение, зная его корни:
а) \( \frac{\sqrt{3}-1}{2} \) и \( \frac{\sqrt{3}+1}{2} \);
б) \( 2 — \sqrt{3} \) и \( \frac{1}{2-\sqrt{3}} \).
а) \( \frac{\sqrt{3} — 1}{2} \) и \( \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \)
\( x_1 + x_2 = -b \)
\( \frac{\sqrt{3} — 1}{2} + \frac{\sqrt{3} + 1}{2} = -b \)
\( \frac{\sqrt{3} — 1 + \sqrt{3} + 1}{2} = -b \)
\( \frac{2\sqrt{3}}{2} = -b \)
\( \sqrt{3} = -b \)
\( b = -\sqrt{3} \)
\( x_1 x_2 = c \)
\( \frac{\sqrt{3} — 1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{2} = c \)
\( \frac{(\sqrt{3} — 1)(\sqrt{3} + 1)}{4} = c \)
\( \frac{3 — 1}{4} = c \)
\( \frac{2}{4} = c \)
\( c = \frac{1}{2} \)
Уравнение: \( x^2 — \sqrt{3}x + \frac{1}{2} = 0 \), \( 2x^2 — 2\sqrt{3}x + 1 = 0 \)
б) \( 2 — \sqrt{3} \) и \( \frac{1}{2 — \sqrt{3}} \)
\( x_1 + x_2 = -b \)
\( 2 — \sqrt{3} + \frac{1}{2 — \sqrt{3}} = -b \)
\( \frac{(2 — \sqrt{3})^2 + 1}{2 — \sqrt{3}} = -b \)
\( \frac{4 — 4\sqrt{3} + 3 + 1}{2 — \sqrt{3}} = -b \)
\( \frac{8 — 4\sqrt{3}}{2 — \sqrt{3}} = -b \)
\( \frac{4(2 — \sqrt{3})}{2 — \sqrt{3}} = -b \)
\( 4 = -b \)
\( b = -4 \)
\( x_1 x_2 = c \)
\( \left(2 — \sqrt{3}\right) \cdot \frac{1}{2 — \sqrt{3}} = c \)
\( c = 1 \)
Уравнение: \( x^2 — 4x + 1 = 0 \)
а) \( \frac{\sqrt{3} — 1}{2} \) и \( \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \)
Для составления квадратного уравнения по его корням используется теорема Виета, которая связывает коэффициенты уравнения \( x^2 + bx + c = 0 \) с суммой и произведением корней. Сумма корней равна \( -b \), а произведение корней равно \( c \). Сначала найдём сумму данных корней: \( x_1 + x_2 = \frac{\sqrt{3} — 1}{2} + \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \). Приводим к общему знаменателю, который уже равен 2, и складываем числители: \( \frac{\sqrt{3} — 1 + \sqrt{3} + 1}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \). Таким образом, сумма корней равна \( \sqrt{3} \), откуда получаем \( -b = \sqrt{3} \), следовательно, \( b = -\sqrt{3} \).
Теперь найдём произведение корней: \( x_1 x_2 = \frac{\sqrt{3} — 1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{2} = \frac{(\sqrt{3} — 1)(\sqrt{3} + 1)}{4} \). В числителе применяем формулу разности квадратов \( (a — b)(a + b) = a^2 — b^2 \), где \( a = \sqrt{3} \) и \( b = 1 \): \( (\sqrt{3})^2 — 1^2 = 3 — 1 = 2 \). Получаем \( \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \), поэтому \( c = \frac{1}{2} \). Подставляя найденные значения коэффициентов в общую форму, получаем уравнение \( x^2 — \sqrt{3}x + \frac{1}{2} = 0 \). Для удобства можно умножить обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби: \( 2x^2 — 2\sqrt{3}x + 1 = 0 \).
б) \( 2 — \sqrt{3} \) и \( \frac{1}{2 — \sqrt{3}} \)
Найдём сумму этих корней. Первый корень уже представлен в виде \( 2 — \sqrt{3} \), а второй корень — это \( \frac{1}{2 — \sqrt{3}} \). Чтобы сложить эти выражения, приведём их к общему знаменателю: \( x_1 + x_2 = 2 — \sqrt{3} + \frac{1}{2 — \sqrt{3}} = \frac{(2 — \sqrt{3})^2 + 1}{2 — \sqrt{3}} \). Раскроем скобку в числителе: \( (2 — \sqrt{3})^2 = 4 — 4\sqrt{3} + 3 = 7 — 4\sqrt{3} \). Добавляя 1, получаем \( 7 — 4\sqrt{3} + 1 = 8 — 4\sqrt{3} \). Таким образом, сумма корней равна \( \frac{8 — 4\sqrt{3}}{2 — \sqrt{3}} \).
Упростим эту дробь, вынеся общий множитель из числителя: \( \frac{8 — 4\sqrt{3}}{2 — \sqrt{3}} = \frac{4(2 — \sqrt{3})}{2 — \sqrt{3}} = 4 \). Следовательно, \( -b = 4 \), откуда \( b = -4 \). Теперь найдём произведение корней: \( x_1 x_2 = (2 — \sqrt{3}) \cdot \frac{1}{2 — \sqrt{3}} = 1 \), так как произведение числа на его обратное всегда равно единице. Получаем \( c = 1 \). Подставляя коэффициенты \( b = -4 \) и \( c = 1 \) в стандартную форму квадратного уравнения, получаем итоговое уравнение \( x^2 — 4x + 1 = 0 \).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!