ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 672 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Найдите три каких-нибудь решения уравнения:

а) \( x — 2y = 8 \)

б) \( x + 0y = 10 \)

в) \( x — xy = 12 \)

г) \( (x + y)(y — 2) = 0 \)

а) \( x — 2y = 8 \Rightarrow x = 8 + 2y \);

если \( y = 0 \), то \( x = 8 + 2 \cdot 0 = 8 \);

если \( y = 1 \), то \( x = 8 + 2 \cdot 1 = 10 \);

если \( y = 5 \), то \( x = 8 + 2 \cdot 5 = 18 \).

Ответ: \( (8; 0), (10; 1), (18; 5) \).

б) \( x + 0y = 10 \Rightarrow x = 10 \);

если \( y = 0 \), то \( x = 10 \);

если \( y = 5 \), то \( x = 10 \);

если \( y = 10 \), то \( x = 10 \).

Ответ: \( (10; 0), (10; 5), (10; 10) \).

в) \( x — xy = 12 \Rightarrow x(1 — y) = 12 \Rightarrow x = \frac{12}{1 — y} \), \( y \neq 1, x \neq 0 \);

если \( y = 0 \), то \( x = \frac{12}{1 — 0} = 12 \);

если \( y = -1 \), то \( x = \frac{12}{1 — (-1)} = 6 \);

если \( y = 4 \), то \( x = \frac{12}{1 — 4} = -4 \).

Ответ: \( (12; 0), (6; -1), (-4; 4) \).

г) \( (x + y)(y — 2) = 0 \)

\( x + y = 0 \) или \( y — 2 = 0 \)

\( y = -x \) \( y = 2 \).

Если \( x = 0 \), то \( y = 0 \);

если \( x = 7 \), то \( y = -7 \);

если \( x = -2 \), то \( y = 2 \).

Ответ: \( (0; 0), (7; -7), (-2; 2) \).

а) \( x — 2y = 8 \Rightarrow x = 8 + 2y \)

Для решения этого уравнения с двумя переменными нужно выразить одну переменную через другую. Из исходного уравнения \( x — 2y = 8 \) переносим слагаемое \( -2y \) в правую часть с противоположным знаком, получаем \( x = 8 + 2y \). Это означает, что для любого значения \( y \) мы можем найти соответствующее значение \( x \). Уравнение имеет бесконечно много решений, так как это линейное уравнение с двумя переменными, которое геометрически представляет прямую линию на координатной плоскости.

Теперь найдём конкретные решения, подставляя различные значения переменной \( y \). Если \( y = 0 \), то \( x = 8 + 2 \cdot 0 = 8 + 0 = 8 \), получаем точку \( (8; 0) \). Если \( y = 1 \), то \( x = 8 + 2 \cdot 1 = 8 + 2 = 10 \), получаем точку \( (10; 1) \). Если \( y = 5 \), то \( x = 8 + 2 \cdot 5 = 8 + 10 = 18 \), получаем точку \( (18; 5) \). Все эти точки удовлетворяют исходному уравнению и лежат на одной прямой. Проверим: для \( (8; 0) \) имеем \( 8 — 2 \cdot 0 = 8 \) — верно; для \( (10; 1) \) имеем \( 10 — 2 \cdot 1 = 10 — 2 = 8 \) — верно; для \( (18; 5) \) имеем \( 18 — 2 \cdot 5 = 18 — 10 = 8 \) — верно.

б) \( x + 0y = 10 \Rightarrow x = 10 \)

Это уравнение содержит переменную \( y \) с коэффициентом ноль, что означает, что переменная \( y \) вообще не влияет на значение \( x \). Упрощая выражение, получаем \( x = 10 \). Это означает, что \( x \) всегда равен 10, независимо от того, какое значение принимает \( y \). Геометрически это представляет вертикальную прямую линию, параллельную оси ординат и проходящую через точку \( x = 10 \) на оси абсцисс.

Поскольку \( x \) фиксирован и равен 10, переменная \( y \) может принимать любые значения. Если \( y = 0 \), то получаем решение \( (10; 0) \). Если \( y = 5 \), то получаем решение \( (10; 5) \). Если \( y = 10 \), то получаем решение \( (10; 10) \). Все эти точки имеют одинаковую абсциссу, равную 10, но различаются по ординате. Это подтверждает, что решением уравнения является вся вертикальная прямая \( x = 10 \), и мы выбираем из неё три произвольные точки для иллюстрации.

в) \( x — xy = 12 \Rightarrow x(1 — y) = 12 \Rightarrow x = \frac{12}{1 — y} \), \( y \neq 1, x \neq 0 \)

Для решения этого уравнения сначала вынесем общий множитель \( x \) за скобки: \( x — xy = x(1 — y) = 12 \). Это преобразование позволяет нам выразить \( x \) через \( y \). Разделив обе части уравнения на \( (1 — y) \), получаем \( x = \frac{12}{1 — y} \). Важно отметить ограничения: знаменатель не может быть равен нулю, поэтому \( 1 — y \neq 0 \), откуда \( y \neq 1 \). Также из исходного уравнения видно, что \( x \neq 0 \), так как если \( x = 0 \), то \( 0 — 0 \cdot y = 0 \neq 12 \). Это уравнение гиперболического типа и имеет бесконечно много решений, но с указанными ограничениями.

Найдём конкретные решения, подставляя различные допустимые значения \( y \). Если \( y = 0 \), то \( x = \frac{12}{1 — 0} = \frac{12}{1} = 12 \), получаем точку \( (12; 0) \). Проверка: \( 12 — 12 \cdot 0 = 12 — 0 = 12 \) — верно. Если \( y = -1 \), то \( x = \frac{12}{1 — (-1)} = \frac{12}{1 + 1} = \frac{12}{2} = 6 \), получаем точку \( (6; -1) \). Проверка: \( 6 — 6 \cdot (-1) = 6 + 6 = 12 \) — верно. Если \( y = 4 \), то \( x = \frac{12}{1 — 4} = \frac{12}{-3} = -4 \), получаем точку \( (-4; 4) \). Проверка: \( -4 — (-4) \cdot 4 = -4 + 16 = 12 \) — верно. Все найденные решения удовлетворяют исходному уравнению и ограничениям.

г) \( (x + y)(y — 2) = 0 \)

Это уравнение является произведением двух множителей, равным нулю. По свойству произведения, произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому либо \( x + y = 0 \), либо \( y — 2 = 0 \). Из первого условия получаем \( y = -x \), что означает, что \( y \) и \( x \) противоположны по знаку и равны по модулю. Из второго условия получаем \( y = 2 \), что означает, что \( y \) всегда равен 2, а \( x \) может быть любым числом. Таким образом, решением уравнения являются две прямые: прямая \( y = -x \) (биссектриса второго и четвёртого координатных углов) и горизонтальная прямая \( y = 2 \).

Найдём конкретные решения на каждой из этих прямых. Для прямой \( y = -x \): если \( x = 0 \), то \( y = -0 = 0 \), получаем точку \( (0; 0) \). Проверка: \( (0 + 0)(0 — 2) = 0 \cdot (-2) = 0 \) — верно. Если \( x = 7 \), то \( y = -7 \), получаем точку \( (7; -7) \). Проверка: \( (7 + (-7))((-7) — 2) = 0 \cdot (-9) = 0 \) — верно. Для прямой \( y = 2 \): если \( x = -2 \), то \( y = 2 \), получаем точку \( (-2; 2) \). Проверка: \( (-2 + 2)(2 — 2) = 0 \cdot 0 = 0 \) — верно. Все найденные точки лежат на одной из двух прямых и удовлетворяют исходному уравнению.