ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 676 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Объясните, почему графиком уравнения \( x^2 — y^2 = 0 \) является пара прямых \( y = x \) и \( y = -x \).

\( x^2 — y^2 = 0 \)

\( (x — y)(x + y) = 0 \)

\( x — y = 0 \) или \( x + y = 0 \)

\( y = x \) \( y = -x \)

Поэтому графиком уравнения \( x^2 — y^2 = 0 \) является пара прямых \( y = x \) и \( y = -x \).

Рассмотрим уравнение \( x^2 — y^2 = 0 \). Это уравнение представляет собой разность квадратов двух переменных, которая равна нулю. Для решения такого уравнения необходимо применить формулу разложения разности квадратов на множители. Формула разности квадратов имеет вид \( a^2 — b^2 = (a — b)(a + b) \), где в нашем случае \( a = x \) и \( b = y \). Применяя эту формулу, получаем \( x^2 — y^2 = (x — y)(x + y) = 0 \).

Когда произведение двух множителей равно нулю, это означает, что хотя бы один из этих множителей должен быть равен нулю. Следовательно, из уравнения \( (x — y)(x + y) = 0 \) получаем два случая: либо первый множитель равен нулю, то есть \( x — y = 0 \), либо второй множитель равен нулю, то есть \( x + y = 0 \). Эти два условия являются независимыми и определяют все решения исходного уравнения. Каждое из этих условий описывает отдельное геометрическое место точек на координатной плоскости.

Из первого условия \( x — y = 0 \) получаем \( y = x \). Это уравнение прямой, которая проходит через начало координат и имеет угловой коэффициент, равный единице. На этой прямой каждой точке соответствует пара координат, где значение ординаты равно значению абсциссы. Прямая \( y = x \) образует угол 45 градусов с положительным направлением оси абсцисс и проходит через все четыре квадранта координатной плоскости, пересекая оси в начале координат.

Из второго условия \( x + y = 0 \) получаем \( y = -x \). Это уравнение второй прямой, которая также проходит через начало координат, но имеет угловой коэффициент, равный минус единице. На этой прямой значение ординаты равно противоположному значению абсциссы. Прямая \( y = -x \) образует угол 135 градусов (или минус 45 градусов) с положительным направлением оси абсцисс и также проходит через все четыре квадранта, пересекаясь с первой прямой в начале координат.

Графиком уравнения \( x^2 — y^2 = 0 \) является пара пересекающихся прямых: \( y = x \) и \( y = -x \). Эти две прямые пересекаются в начале координат в точке \( (0, 0) \) и образуют между собой прямой угол, равный 90 градусам. Множество всех точек, удовлетворяющих исходному уравнению, состоит из всех точек, лежащих на одной из этих двух прямых. Таким образом, решение уравнения \( x^2 — y^2 = 0 \) геометрически представляет собой объединение двух прямых линий, которые делят координатную плоскость на четыре равных угла по 90 градусов каждый.