ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 678 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

На рис. 27 изображён график одного из следующих линейных уравнений: \( x — y = -7 \), \( x — y = 4 \), \( 2x + y = 6 \), \( x + y = 5 \). Укажите это уравнение.

График, изображённый на рисунке, является убывающей прямой, проходящей через точки \( (3; 0) \) и \( (0; 6) \).

\( x — y = -7 \Leftrightarrow y = x + 7 \); график этого уравнения является возрастающей прямой, проходящей через точку \( (0; 7) \) \( \Rightarrow \) не подходит.

\( x — y = 4 \Leftrightarrow y = x — 4 \); график этого уравнения является возрастающей прямой, проходящей через точку \( (0; 4) \) \( \Rightarrow \) не подходит.

\( 2x + y = 6 \Leftrightarrow y = -2x + 6 \); график этого уравнения является убывающей прямой, проходящей через точку \( (0; 6) \) \( \Rightarrow \) подходит.

\( x + y = 5 \Leftrightarrow y = -x + 5 \); график этого уравнения является убывающей прямой, проходящей через точку \( (0; 5) \) \( \Rightarrow \) не подходит.

Ответ: \( 2x + y = 6 \).

График, изображённый на рисунке, является убывающей прямой, проходящей через точки \( (3; 0) \) и \( (0; 6) \). Это означает, что при увеличении значения \( x \) значение \( y \) уменьшается, а угловой коэффициент прямой отрицательный. Точка \( (0; 6) \) показывает, что прямая пересекает ось ординат на высоте 6, а точка \( (3; 0) \) указывает на пересечение с осью абсцисс. Для нахождения уравнения этой прямой необходимо проверить каждый из предложенных вариантов и определить, какой из них соответствует описанным характеристикам.

Найдём угловой коэффициент прямой, используя две известные точки. Угловой коэффициент вычисляется по формуле \( k = \frac{y_2 — y_1}{x_2 — x_1} = \frac{0 — 6}{3 — 0} = \frac{-6}{3} = -2 \). Отрицательное значение коэффициента подтверждает, что прямая убывающая. Используя точку \( (0; 6) \) и угловой коэффициент \( k = -2 \), уравнение прямой в виде \( y = kx + b \) имеет вид \( y = -2x + 6 \), где \( b = 6 \) — это ордината точки пересечения с осью \( y \). Проверим, что эта прямая проходит через обе точки: при \( x = 0 \) получаем \( y = -2 \cdot 0 + 6 = 6 \), что соответствует точке \( (0; 6) \); при \( x = 3 \) получаем \( y = -2 \cdot 3 + 6 = -6 + 6 = 0 \), что соответствует точке \( (3; 0) \).

Теперь проверим каждый из предложенных вариантов уравнений. Первый вариант: \( x — y = -7 \Leftrightarrow y = x + 7 \); график этого уравнения является возрастающей прямой с положительным угловым коэффициентом \( k = 1 \), проходящей через точку \( (0; 7) \). Поскольку график возрастающий, а не убывающий, и пересекает ось \( y \) в точке \( (0; 7) \), а не в \( (0; 6) \), этот вариант не подходит.

Второй вариант: \( x — y = 4 \Leftrightarrow y = x — 4 \); график этого уравнения также является возрастающей прямой с угловым коэффициентом \( k = 1 \), проходящей через точку \( (0; 4) \). Поскольку эта прямая возрастающая, а не убывающая, и её ордината при \( x = 0 \) равна 4, а не 6, этот вариант также не подходит. Возрастающие прямые имеют положительный угловой коэффициент, что противоречит требуемому отрицательному коэффициенту.

Третий вариант: \( 2x + y = 6 \Leftrightarrow y = -2x + 6 \); график этого уравнения является убывающей прямой с угловым коэффициентом \( k = -2 \), проходящей через точку \( (0; 6) \). Проверим прохождение через точку \( (3; 0) \): подставляя \( x = 3 \) в уравнение, получаем \( y = -2 \cdot 3 + 6 = 0 \), что верно. Этот вариант полностью соответствует всем требуемым характеристикам: прямая убывающая, проходит через \( (3; 0) \) и \( (0; 6) \).

Четвёртый вариант: \( x + y = 5 \Leftrightarrow y = -x + 5 \); график этого уравнения является убывающей прямой с угловым коэффициентом \( k = -1 \), проходящей через точку \( (0; 5) \). Хотя эта прямая действительно убывающая, она пересекает ось \( y \) в точке \( (0; 5) \), а не в \( (0; 6) \), и её угловой коэффициент равен \( -1 \), а не \( -2 \). Проверим прохождение через точку \( (3; 0) \): подставляя \( x = 3 \), получаем \( y = -3 + 5 = 2 \neq 0 \), поэтому этот вариант не подходит.

Таким образом, единственный вариант, который соответствует всем условиям задачи, — это \( 2x + y = 6 \). Это уравнение описывает убывающую прямую с угловым коэффициентом \( -2 \), которая проходит через обе требуемые точки: \( (3; 0) \) и \( (0; 6) \). Уравнение можно записать в различных формах: в общем виде \( 2x + y = 6 \), в виде с выраженным \( y \) как \( y = -2x + 6 \), или в виде \( y — 6 = -2(x — 0) \), но все эти формы описывают одну и ту же прямую.