Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 679 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Составьте уравнение, графиком которого является пара прямых, изображённых на рисунке 28.
а) На рисунке изображены две перпендикулярные прямые: \( y = 1 \) и \( x = 1 \).
Следовательно, уравнение прямой имеет вид:
\( (x — 1)(y — 1) = 0 \)
б) Первая прямая параллельна оси \( y \) и проходит через точку \( (-1) \) по оси \( x \), значит, это прямая \( x = -1 \).
Вторая прямая проходит через начало координат и через точку \( (1; 1) \), значит, это прямая \( y = x \).
Следовательно, уравнение прямой имеет вид:
\( (x + 1)(y — x) = 0 \)
в) На рисунке изображены две параллельные прямые: \( x = -2 \) и \( x = 1 \).
Следовательно, уравнение прямой имеет вид:
\( (x + 2)(x — 1) = 0 \)
\( x^2 — x + 2x — 2 = 0 \)
\( x^2 + x — 2 = 0 \)
г) На рисунке изображены две параллельные прямые: \( y = 2 \) и \( y = -1 \).
Следовательно, уравнение прямой имеет вид:
\( (y — 2)(y + 1) = 0 \)
\( y^2 + y — 2y — 2 = 0 \)
\( y^2 — y — 2 = 0 \)
а) На рисунке изображены две перпендикулярные прямые: \( y = 1 \) и \( x = 1 \). Первая прямая горизонтальна и проходит через все точки, у которых ордината равна единице. Вторая прямая вертикальна и проходит через все точки, у которых абсцисса равна единице. Эти две прямые пересекаются в точке \( (1; 1) \) и образуют прямой угол, что подтверждает их перпендикулярность.
Для того чтобы составить единое уравнение, описывающее обе прямые одновременно, необходимо использовать произведение выражений, каждое из которых равно нулю для одной из прямых. Уравнение \( y — 1 = 0 \) описывает горизонтальную прямую, а уравнение \( x — 1 = 0 \) описывает вертикальную прямую. Произведение этих двух выражений даёт нам \( (x — 1)(y — 1) = 0 \). Это уравнение удовлетворяется тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, то есть когда либо \( x = 1 \), либо \( y = 1 \), что соответствует обеим прямым на рисунке.
б) Первая прямая параллельна оси ординат (оси \( y \)) и проходит через точку с координатой \( x = -1 \) на оси абсцисс. Это означает, что для всех точек на этой прямой значение абсциссы постоянно и равно \( -1 \), в то время как ордината может принимать любые значения. Уравнение такой вертикальной прямой имеет вид \( x = -1 \) или, в эквивалентной форме, \( x + 1 = 0 \).
Вторая прямая проходит через начало координат, то есть через точку \( (0; 0) \), и через точку \( (1; 1) \). Поскольку обе координаты увеличиваются на одну единицу, угловой коэффициент этой прямой равен \( \frac{1 — 0}{1 — 0} = 1 \). Таким образом, уравнение второй прямой имеет вид \( y = x \) или, переписав в стандартной форме, \( y — x = 0 \). Чтобы получить единое уравнение для обеих прямых, составляем произведение: \( (x + 1)(y — x) = 0 \). Это уравнение выполняется, когда либо \( x + 1 = 0 \) (первая прямая), либо \( y — x = 0 \) (вторая прямая).
в) На рисунке изображены две параллельные вертикальные прямые: одна проходит через точку \( x = -2 \), другая через точку \( x = 1 \). Обе прямые параллельны оси ординат, поэтому они никогда не пересекаются. Первая прямая описывается уравнением \( x = -2 \) или \( x + 2 = 0 \), вторая прямая описывается уравнением \( x = 1 \) или \( x — 1 = 0 \). Расстояние между этими параллельными прямыми равно \( 1 — (-2) = 3 \) единицам.
Для составления единого уравнения, которое описывает обе параллельные прямые, используем произведение выражений: \( (x + 2)(x — 1) = 0 \). Раскроем скобки, применяя распределительный закон умножения. Сначала умножим \( x \) на оба члена второй скобки: \( x \cdot x + x \cdot (-1) = x^2 — x \). Затем умножим \( 2 \) на оба члена второй скобки: \( 2 \cdot x + 2 \cdot (-1) = 2x — 2 \). Объединяя все члены, получаем: \( x^2 — x + 2x — 2 = 0 \). Приводим подобные члены: \( -x + 2x = x \), поэтому окончательное уравнение имеет вид \( x^2 + x — 2 = 0 \). Это квадратное уравнение имеет два корня: \( x = -2 \) и \( x = 1 \), которые соответствуют абсциссам обеих прямых.
г) На рисунке изображены две параллельные горизонтальные прямые: одна проходит через все точки, у которых ордината равна \( 2 \), другая проходит через все точки, у которых ордината равна \( -1 \). Обе прямые параллельны оси абсцисс, поэтому они никогда не пересекаются. Первая прямая описывается уравнением \( y = 2 \) или \( y — 2 = 0 \), вторая прямая описывается уравнением \( y = -1 \) или \( y + 1 = 0 \). Расстояние между этими параллельными прямыми равно \( 2 — (-1) = 3 \) единицам.
Для составления единого уравнения, которое описывает обе параллельные прямые, используем произведение выражений: \( (y — 2)(y + 1) = 0 \). Раскроем скобки, применяя распределительный закон умножения. Сначала умножим \( y \) на оба члена второй скобки: \( y \cdot y + y \cdot 1 = y^2 + y \). Затем умножим \( -2 \) на оба члена второй скобки: \( -2 \cdot y + (-2) \cdot 1 = -2y — 2 \). Объединяя все члены, получаем: \( y^2 + y — 2y — 2 = 0 \). Приводим подобные члены: \( y — 2y = -y \), поэтому окончательное уравнение имеет вид \( y^2 — y — 2 = 0 \). Это квадратное уравнение имеет два корня: \( y = 2 \) и \( y = -1 \), которые соответствуют ординатам обеих прямых.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!