ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 68 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Пользуясь тождеством \(\frac{a+b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}\), представьте дробь в виде суммы дробей:
а) \(\frac{a+b}{x};\)
б) \(\frac{2a^2 + a}{y};\)
в) \(\frac{x^2 + 6y^2}{2xy};\)
г) \(\frac{12a + y^2}{6ay}.\)

а) \(\frac{a+b}{x} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x}\) — сложение дробей с одинаковым знаменателем.

б) \(\frac{2a^2 + a}{y} = \frac{2a^2}{y} + \frac{a}{y}\) — распределение деления по сумме.

в) \(\frac{x^2 + 6y^2}{2xy} = \frac{x^2}{2xy} + \frac{6y^2}{2xy} = \frac{x}{2y} + \frac{3y}{x}\) — разложение дроби на сумму дробей и сокращение.

г) \(\frac{12a + y^2}{6ay} = \frac{12a}{6ay} + \frac{y^2}{6ay} = \frac{2}{y} + \frac{y}{6a}\) — разложение и сокращение дробей.

а) В этом выражении дана дробь, в числителе которой сумма \(a+b\), а в знаменателе стоит \(x\). По свойству дробей, если в числителе стоит сумма, а знаменатель общий, то дробь можно представить как сумму двух дробей с тем же знаменателем. То есть \(\frac{a+b}{x} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x}\). Это происходит потому, что деление суммы на число эквивалентно делению каждого слагаемого на это число и последующему сложению результатов. Таким образом, мы просто разделили сумму в числителе на \(x\) по отдельности для каждого члена.

Далее, такое разложение упрощает работу с выражением, так как теперь каждая дробь имеет один простой член в числителе, что облегчает дальнейшие преобразования или вычисления. Это свойство часто используется для упрощения дробных выражений и решения уравнений, где нужно работать с отдельными слагаемыми. В итоге исходная дробь распадается на сумму двух дробей с одинаковым знаменателем.

б) В этом случае в числителе дроби стоит выражение \(2a^2 + a\), а знаменатель — \(y\). Аналогично первому примеру, деление суммы на число равносильно сумме делений каждого слагаемого. Поэтому \(\frac{2a^2 + a}{y} = \frac{2a^2}{y} + \frac{a}{y}\). Здесь важно заметить, что степень \(a^2\) сохраняется в первом слагаемом, а во втором — просто \(a\), без изменений.

Такое разложение позволяет отдельно рассматривать каждую часть выражения, что удобно для упрощения или дальнейших действий с дробями. Например, если нужно привести дроби к общему знаменателю или сократить, проще работать с дробями, где числитель — отдельный член. Этот приём широко применяется при решении алгебраических задач, где суммы в числителе дроби разбиваются на более простые части.

в) В этом выражении знаменатель общий — \(2xy\), а числитель — сумма \(x^2 + 6y^2\). По правилу дробей, можно разделить дробь на сумму двух дробей: \(\frac{x^2 + 6y^2}{2xy} = \frac{x^2}{2xy} + \frac{6y^2}{2xy}\). Далее каждый из этих членов можно упростить. В первом дробном выражении сокращаем \(x^2\) и \(xy\), получая \(\frac{x}{2y}\), так как \(x^2 \div x = x\), а \(xy \div x = y\). Во втором дробном выражении \(6y^2\) делим на \(2xy\), сокращая 6 и 2 до 3 и 1 соответственно, а \(y^2\) и \(xy\) — до \(y\), получается \(\frac{3y}{x}\).

Таким образом, исходная дробь разлагается на сумму двух более простых дробей с разными знаменателями, что облегчает дальнейшие действия с ними. Это важный приём при работе с многочленами и дробями, позволяющий упростить выражение и подготовить его к следующим преобразованиям.

г) Здесь в числителе сумма \(12a + y^2\), а знаменатель — произведение \(6ay\). По правилу разложения дроби на сумму дробей с общим знаменателем, имеем \(\frac{12a + y^2}{6ay} = \frac{12a}{6ay} + \frac{y^2}{6ay}\). Рассмотрим каждую дробь отдельно. В первой дроби \(12a\) и \(6ay\) имеют общий множитель \(6a\), который можно сократить, получая \(\frac{12a}{6ay} = \frac{2}{y}\). Во второй дроби \(y^2\) и \(6ay\) имеют общий множитель \(y\), сокращая его, получаем \(\frac{y^2}{6ay} = \frac{y}{6a}\).

Такое разложение позволяет представить исходную сложную дробь в виде суммы более простых дробей, что упрощает дальнейшие вычисления и преобразования. Это особенно полезно при решении уравнений или при интегрировании, где важно работать с простыми дробями, а не с суммами в числителе.