Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 683 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Найдите все целые решения уравнения:
а) \(xy=2\);
б) \(x^2 — y^2 = 3\).
а) \(xy = 2 \Rightarrow y = \frac{2}{x}\);
Целые решения уравнения:
\(x = -1 \Rightarrow y = -2;\)
\(x = -2 \Rightarrow y = -1;\)
\(x = 1 \Rightarrow y = 2;\)
\(x = 2 \Rightarrow y = 1.\)
Ответ: \((-1; -2), (-2; -1), (1; 2), (2; 1).\)
б) \(x^2 — y^2 = 3\)
\((x — y)(x + y) = 3.\)
Целые решения уравнения:
1) \(x — y = -1 \quad \# \quad x + y = -3\)
\(y = x + 1 \quad y = -x — 3.\)
Приравняем правые части уравнений:
\(x + 1 = -x — 3 \Rightarrow x + x = -3 — 1 \Rightarrow 2x = -4 \Rightarrow x = -2.\)
Тогда:
\(y = x + 1 = -2 + 1 = -1.\)
Следовательно: \((-2; -1).\)
2) \(x — y = -3 \quad \# \quad x + y = -1\)
\(y = x + 3 \quad y = -x — 1.\)
Приравняем правые части уравнений:
\(x + 3 = -x — 1 \Rightarrow x + x = -1 — 3 \Rightarrow 2x = -4 \Rightarrow x = -2.\)
Тогда:
\(y = x + 3 = -2 + 3 = 1.\)
Следовательно: \((-2; 1).\)
3) \(x — y = 1 \quad \# \quad x + y = 3\)
\(y = x — 1 \quad y = -x + 3.\)
Приравняем правые части уравнений:
\(x — 1 = -x + 3 \Rightarrow x + x = 3 + 1 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2.\)
Тогда:
\(y = x — 1 = 2 — 1 = 1.\)
Следовательно: \((2; 1).\)
4) \(x — y = 3 \quad \# \quad x + y = 1\)
\(y = x — 3 \quad y = -x + 1.\)
Приравняем правые части уравнений:
\(x — 3 = -x + 1 \Rightarrow x + x = 1 + 3 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2.\)
Тогда:
\(y = x — 3 = 2 — 3 = -1.\)
Следовательно: \((2; -1).\)
Ответ: \((-2; -1), (-2; 1), (2; 1), (2; -1).\)
а) Рассмотрим уравнение \(xy = 2\). Чтобы найти целые решения, выразим \(y\) через \(x\): \(y = \frac{2}{x}\). Поскольку \(x\) и \(y\) должны быть целыми числами, \(x\) должен быть делителем числа 2 в множестве целых чисел. Целыми делителями 2 являются \( \pm 1\) и \( \pm 2\).
Подставим эти значения по очереди в формулу для \(y\). Если \(x = -1\), тогда \(y = \frac{2}{-1} = -2\). Если \(x = -2\), то \(y = \frac{2}{-2} = -1\). Аналогично, при \(x = 1\), \(y = 2\), а при \(x = 2\), \(y = 1\). Таким образом, все целые решения уравнения — это пары \((-1; -2), (-2; -1), (1; 2), (2; 1)\).
б) Рассмотрим уравнение \(x^2 — y^2 = 3\), которое можно переписать в виде произведения разности и суммы: \((x — y)(x + y) = 3\). Здесь нужно найти целые числа \(x\) и \(y\), для которых произведение двух целых чисел \(x-y\) и \(x+y\) равно 3. Поскольку 3 — простое число, пары множителей могут быть только \((1; 3), (3; 1), (-1; -3), (-3; -1)\).
Рассмотрим каждую пару множителей как систему уравнений:
1) \(x — y = -1\) и \(x + y = -3\)
2) \(x — y = -3\) и \(x + y = -1\)
3) \(x — y = 1\) и \(x + y = 3\)
4) \(x — y = 3\) и \(x + y = 1\)
Решим каждую систему последовательно. Для первой системы: выразим \(y\) из первого уравнения как \(y = x + 1\), а из второго — \(y = -x — 3\). Приравняем правые части: \(x + 1 = -x — 3\), откуда \(2x = -4\), значит \(x = -2\). Подставим обратно: \(y = -2 + 1 = -1\). Получаем решение \((-2; -1)\).
Для второй системы: \(y = x + 3\) и \(y = -x — 1\). Приравняем: \(x + 3 = -x — 1\), откуда \(2x = -4\), \(x = -2\). Тогда \(y = -2 + 3 = 1\), решение \((-2; 1)\).
Для третьей системы: \(y = x — 1\) и \(y = -x + 3\). Приравняем: \(x — 1 = -x + 3\), откуда \(2x = 4\), \(x = 2\). Тогда \(y = 2 — 1 = 1\), решение \((2; 1)\).
Для четвертой системы: \(y = x — 3\) и \(y = -x + 1\). Приравняем: \(x — 3 = -x + 1\), откуда \(2x = 4\), \(x = 2\). Тогда \(y = 2 — 3 = -1\), решение \((2; -1)\).
Таким образом, целые решения уравнения \(x^2 — y^2 = 3\) — это \((-2; -1), (-2; 1), (2; 1), (2; -1)\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!