ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 683 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Найдите все целые решения уравнения:
а) \(xy=2\);
б) \(x^2 — y^2 = 3\).

а) \(xy = 2 \Rightarrow y = \frac{2}{x}\);
Целые решения уравнения:
\(x = -1 \Rightarrow y = -2;\)
\(x = -2 \Rightarrow y = -1;\)
\(x = 1 \Rightarrow y = 2;\)
\(x = 2 \Rightarrow y = 1.\)
Ответ: \((-1; -2), (-2; -1), (1; 2), (2; 1).\)

б) \(x^2 — y^2 = 3\)
\((x — y)(x + y) = 3.\)
Целые решения уравнения:

1) \(x — y = -1 \quad \# \quad x + y = -3\)
\(y = x + 1 \quad y = -x — 3.\)
Приравняем правые части уравнений:
\(x + 1 = -x — 3 \Rightarrow x + x = -3 — 1 \Rightarrow 2x = -4 \Rightarrow x = -2.\)
Тогда:
\(y = x + 1 = -2 + 1 = -1.\)
Следовательно: \((-2; -1).\)

2) \(x — y = -3 \quad \# \quad x + y = -1\)
\(y = x + 3 \quad y = -x — 1.\)
Приравняем правые части уравнений:
\(x + 3 = -x — 1 \Rightarrow x + x = -1 — 3 \Rightarrow 2x = -4 \Rightarrow x = -2.\)
Тогда:
\(y = x + 3 = -2 + 3 = 1.\)
Следовательно: \((-2; 1).\)

3) \(x — y = 1 \quad \# \quad x + y = 3\)
\(y = x — 1 \quad y = -x + 3.\)
Приравняем правые части уравнений:
\(x — 1 = -x + 3 \Rightarrow x + x = 3 + 1 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2.\)
Тогда:
\(y = x — 1 = 2 — 1 = 1.\)
Следовательно: \((2; 1).\)

4) \(x — y = 3 \quad \# \quad x + y = 1\)
\(y = x — 3 \quad y = -x + 1.\)
Приравняем правые части уравнений:
\(x — 3 = -x + 1 \Rightarrow x + x = 1 + 3 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2.\)
Тогда:
\(y = x — 3 = 2 — 3 = -1.\)
Следовательно: \((2; -1).\)

Ответ: \((-2; -1), (-2; 1), (2; 1), (2; -1).\)

а) Рассмотрим уравнение \(xy = 2\). Чтобы найти целые решения, выразим \(y\) через \(x\): \(y = \frac{2}{x}\). Поскольку \(x\) и \(y\) должны быть целыми числами, \(x\) должен быть делителем числа 2 в множестве целых чисел. Целыми делителями 2 являются \( \pm 1\) и \( \pm 2\).

Подставим эти значения по очереди в формулу для \(y\). Если \(x = -1\), тогда \(y = \frac{2}{-1} = -2\). Если \(x = -2\), то \(y = \frac{2}{-2} = -1\). Аналогично, при \(x = 1\), \(y = 2\), а при \(x = 2\), \(y = 1\). Таким образом, все целые решения уравнения — это пары \((-1; -2), (-2; -1), (1; 2), (2; 1)\).

б) Рассмотрим уравнение \(x^2 — y^2 = 3\), которое можно переписать в виде произведения разности и суммы: \((x — y)(x + y) = 3\). Здесь нужно найти целые числа \(x\) и \(y\), для которых произведение двух целых чисел \(x-y\) и \(x+y\) равно 3. Поскольку 3 — простое число, пары множителей могут быть только \((1; 3), (3; 1), (-1; -3), (-3; -1)\).

Рассмотрим каждую пару множителей как систему уравнений:
1) \(x — y = -1\) и \(x + y = -3\)
2) \(x — y = -3\) и \(x + y = -1\)
3) \(x — y = 1\) и \(x + y = 3\)
4) \(x — y = 3\) и \(x + y = 1\)

Решим каждую систему последовательно. Для первой системы: выразим \(y\) из первого уравнения как \(y = x + 1\), а из второго — \(y = -x — 3\). Приравняем правые части: \(x + 1 = -x — 3\), откуда \(2x = -4\), значит \(x = -2\). Подставим обратно: \(y = -2 + 1 = -1\). Получаем решение \((-2; -1)\).

Для второй системы: \(y = x + 3\) и \(y = -x — 1\). Приравняем: \(x + 3 = -x — 1\), откуда \(2x = -4\), \(x = -2\). Тогда \(y = -2 + 3 = 1\), решение \((-2; 1)\).

Для третьей системы: \(y = x — 1\) и \(y = -x + 3\). Приравняем: \(x — 1 = -x + 3\), откуда \(2x = 4\), \(x = 2\). Тогда \(y = 2 — 1 = 1\), решение \((2; 1)\).

Для четвертой системы: \(y = x — 3\) и \(y = -x + 1\). Приравняем: \(x — 3 = -x + 1\), откуда \(2x = 4\), \(x = 2\). Тогда \(y = 2 — 3 = -1\), решение \((2; -1)\).

Таким образом, целые решения уравнения \(x^2 — y^2 = 3\) — это \((-2; -1), (-2; 1), (2; 1), (2; -1)\).