ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 685 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение:
а) \(\frac{(2x+1)(2x-3)}{4} = x^2 — 1\);
б) \(x^2 — \frac{(2x-1)x}{2} = 2\).

\( \text{а) } \frac{(2x+1)(2x-3)}{4} = x^2 — 1 \quad | \cdot 4 \)
\( (2x+1)(2x-3) = 4(x^2 — 1) \)
\( 4x^2 — 6x + 2x — 3 = 4x^2 — 4 \)
\( 4x^2 — 4x — 3 — 4x^2 + 4 = 0 \)
\( -4x + 1 = 0 \)
\( 4x = 1 \)
\( x = \frac{1}{4} \)
\( x = 0,25. \)
Ответ: \( x = 0,25. \)

\( \text{б) } x^2 — \frac{(2x-1)x}{2} = 2 \quad | \cdot 2 \)
\( 2x^2 — (2x — 1)x = 4 \)
\( 2x^2 — 2x^2 + x = 4 \)
\( x = 4. \)
Ответ: \( x = 4. \)

а) \( \frac{(2x+1)(2x-3)}{4} = x^2 — 1 \quad | \cdot 4 \)
Сначала избавляемся от знаменателя, умножая обе части уравнения на 4, чтобы получить уравнение без дробей:
\( (2x+1)(2x-3) = 4(x^2 — 1) \)
Раскроем скобки в левой части, используя распределительный закон:
\( 2x \cdot 2x = 4x^2, \quad 2x \cdot (-3) = -6x, \quad 1 \cdot 2x = 2x, \quad 1 \cdot (-3) = -3 \)
Таким образом, левая часть становится:
\( 4x^2 — 6x + 2x — 3 \)
Правая часть раскрывается по формуле разности квадратов:
\( 4(x^2 — 1) = 4x^2 — 4 \)
Теперь уравниваем обе части:
\( 4x^2 — 6x + 2x — 3 = 4x^2 — 4 \)
Объединяем подобные члены слева:
\( 4x^2 — 4x — 3 = 4x^2 — 4 \)
Переносим все в одну сторону, чтобы получить уравнение, равное нулю:
\( 4x^2 — 4x — 3 — 4x^2 + 4 = 0 \)
Упрощаем:
\( -4x + 1 = 0 \)
Решаем линейное уравнение:
\( 4x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{4} \)
В десятичном виде это:
\( x = 0,25 \)

б) \( x^2 — \frac{(2x-1)x}{2} = 2 \quad | \cdot 2 \)
Умножаем обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:
\( 2x^2 — (2x — 1) x = 4 \)
Раскрываем скобки во второй части:
\( (2x — 1) x = 2x^2 — x \)
Подставляем обратно:
\( 2x^2 — 2x^2 + x = 4 \)
Упрощаем левую часть:
\( x = 4 \)
Таким образом, решение уравнения — это число \( x = 4 \).