ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 686 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:
а) \(\frac{x^2 — 1}{6x^2} : \frac{x^2 + x}{3}\);
б) \(\frac{16n^2 — 1}{n^2 — 2n} : \frac{8n}{3n — 6}\);
в) \(\frac{x — 4}{y^2 — xy} : \frac{5x — 20}{x^2 — xy}\).

\( \text{a) } \frac{x^2 — 1}{6x^2} : \frac{x^2 + x}{3} = \frac{x^2 — 1}{6x^2} \cdot \frac{3}{x^2 + x} = \frac{(x — 1)(x + 1) \cdot 3}{6x^2 \cdot x(x + 1)} = \frac{x — 1}{2x^3}; \)

\( \text{б) } \frac{16n^2 — 1}{n^2 — 2n} : \frac{8n}{3n — 6} = \frac{16n^2 — 1}{n^2 — 2n} \cdot \frac{3n — 6}{8n} = \)

\( = \frac{(4n — 1)(4n + 1) \cdot 3(n — 2)}{n(n — 2) \cdot 8n} = \frac{3(16n^2 — 1)}{8n^2} = \frac{48n^2 — 3}{8n^2}; \)

\( \text{в) } \frac{x — 4}{y^2 — xy} : \frac{5x — 20}{x^2 — xy} = \frac{x — 4}{y^2 — xy} \cdot \frac{x^2 — xy}{5x — 20} = \frac{(x — 4) \cdot x(x — y)}{y(y — x) \cdot 5(x — 4)} = \)

\( = \frac{-x(y — x)}{y(y — x) \cdot 5} = -\frac{x}{5y} = -\frac{x}{5y}. \)

а) Начинаем с выражения \(\frac{x^2 — 1}{6x^2} : \frac{x^2 + x}{3}\). Деление дробей заменяем умножением первой дроби на обратную вторую: \(\frac{x^2 — 1}{6x^2} \cdot \frac{3}{x^2 + x}\). Далее раскладываем числители и знаменатели на множители. В числителе \(x^2 — 1 = (x — 1)(x + 1)\), а в знаменателе \(x^2 + x = x(x + 1)\). Подставляем: \(\frac{(x — 1)(x + 1)}{6x^2} \cdot \frac{3}{x(x + 1)}\).

Теперь сокращаем общие множители. В числителе и знаменателе есть множитель \((x + 1)\), который можно сократить. Также \(6x^2 = 6 \cdot x \cdot x\), поэтому после сокращения останется \(\frac{(x — 1) \cdot 3}{6 \cdot x \cdot x \cdot x} = \frac{3(x — 1)}{6x^3}\). Делим числитель и знаменатель на 3, получаем \(\frac{x — 1}{2x^3}\).

б) Рассматриваем выражение \(\frac{16n^2 — 1}{n^2 — 2n} : \frac{8n}{3n — 6}\). Заменяем деление умножением на обратную дробь: \(\frac{16n^2 — 1}{n^2 — 2n} \cdot \frac{3n — 6}{8n}\). Раскладываем числители и знаменатели на множители. \(16n^2 — 1 = (4n — 1)(4n + 1)\), \(n^2 — 2n = n(n — 2)\), \(3n — 6 = 3(n — 2)\).

Подставляем: \(\frac{(4n — 1)(4n + 1)}{n(n — 2)} \cdot \frac{3(n — 2)}{8n}\). Сокращаем множитель \((n — 2)\) в числителе и знаменателе. Остаётся \(\frac{(4n — 1)(4n + 1) \cdot 3}{n \cdot 8n} = \frac{3(4n — 1)(4n + 1)}{8n^2}\). Раскрываем скобки в числителе: \((4n — 1)(4n + 1) = 16n^2 — 1\), тогда \(\frac{3(16n^2 — 1)}{8n^2} = \frac{48n^2 — 3}{8n^2}\).

в) Рассмотрим выражение \(\frac{x — 4}{y^2 — xy} : \frac{5x — 20}{x^2 — xy}\). Заменяем деление умножением на обратную дробь: \(\frac{x — 4}{y^2 — xy} \cdot \frac{x^2 — xy}{5x — 20}\). Раскладываем числители и знаменатели на множители: \(y^2 — xy = y(y — x)\), \(5x — 20 = 5(x — 4)\), \(x^2 — xy = x(x — y)\).

Подставляем: \(\frac{x — 4}{y(y — x)} \cdot \frac{x(x — y)}{5(x — 4)}\). Сокращаем множитель \(x — 4\) в числителе и знаменателе. Получаем \(\frac{x(x — y)}{y(y — x) \cdot 5}\). Заменяем \(y — x = -(x — y)\), значит знаменатель \(y(y — x) \cdot 5 = y \cdot (- (x — y)) \cdot 5 = -5y(x — y)\).

Тогда выражение становится \(\frac{x(x — y)}{-5y(x — y)}\). Сокращаем множитель \(x — y\), остаётся \(-\frac{x}{5y}\).