Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 687 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Выясните, имеет ли система решения и сколько:
а) \( \begin{cases} 2x — 6y = 10, \\ 8y = 7 — 2x; \end{cases} \)
б) \( \begin{cases} 3x — 12 = 8y, \\ 1,5x — 4y = 6; \end{cases} \)
в) \( \begin{cases} y = 4x, \\ x — 8 = -6y; \end{cases} \)
г) \( \begin{cases} x + y = 5, \\ 3x — 2y = 8; \end{cases} \)
д) \( \begin{cases} 3 — 3y = 4x, \\ -8x = 6y — 6; \end{cases} \)
е) \( \begin{cases} x + 4y = 5, \\ x — y + 3 = 0. \end{cases} \)
а) \( \begin{cases} 2x — 6y = 10 \\ 8y = 7 — 2x \end{cases} \) \( \begin{cases} 6y = 2x — 10 \\ 8y = 7 — 2x \end{cases} \) \( \begin{cases} y = \frac{1}{3}x — \frac{5}{3} \\ y = -\frac{1}{4}x + \frac{7}{8} \end{cases} \)
Так как \( k_1 = \frac{1}{3} \), \( k_2 = -\frac{1}{4} \), то \( k_1 \neq k_2 \), значит, прямые пересекаются и система имеет единственное решение.
б) \( \begin{cases} 3x — 12 = 8y \\ 1,5x — 4y = 6 \end{cases} \) \( \begin{cases} 8y = 3x — 12 \\ 4y = 1,5x — 6 \end{cases} \) \( \begin{cases} y = \frac{3}{8}x — \frac{3}{2} \\ y = \frac{3}{8}x — \frac{3}{2} \end{cases} \)
Так как \( k_1 = k_2 = \frac{3}{8} \) и \( b_1 = b_2 = -\frac{3}{2} \), то прямые совпадают, значит, система имеет бесконечно много решений.
в) \( \begin{cases} y = 4x \\ x — 8 = -6y \end{cases} \) \( \begin{cases} y = 4x \\ y = -\frac{1}{6}x + \frac{4}{3} \end{cases} \)
Так как \( k_1 = 4 \), \( k_2 = -\frac{1}{6} \), то \( k_1 \neq k_2 \), значит, прямые пересекаются и система имеет единственное решение.
г) \( \begin{cases} x + y = 5 \\ 3x — 2y = 8 \end{cases} \) \( \begin{cases} y = -x + 5 \\ 2y = 3x — 8 \end{cases} \) \( \begin{cases} y = -x + 5 \\ y = 1,5x — 4 \end{cases} \)
Так как \( k_1 = -1 \), \( k_2 = 1,5 \), то \( k_1 \neq k_2 \), значит, прямые пересекаются и система имеет единственное решение.
д) \( \begin{cases} 3 — 3y = 4x \\ -8x = 6y — 6 \end{cases} \) \( \begin{cases} 3y = -4x + 3 \\ 6y = -8x + 6 \end{cases} \) \( \begin{cases} y = -\frac{4}{3}x + 1 \\ y = -\frac{4}{3}x + 1 \end{cases} \)
Так как \( k_1 = k_2 = -\frac{4}{3} \) и \( b_1 = b_2 = 1 \), то прямые совпадают, значит, система имеет бесконечно много решений.
е) \( \begin{cases} x + 4y = 5 \\ y + 3 = 0 \end{cases} \) \( \begin{cases} 4y = -x + 5 \\ y = -3 \end{cases} \) \( \begin{cases} y = -\frac{1}{4}x + \frac{5}{4} \\ y = -3 \end{cases} \)
Так как \( k_1 = -\frac{1}{4} \), \( k_2 = 0 \), то \( k_1 \neq k_2 \), значит, прямые пересекаются и система имеет единственное решение.
а) \( \begin{cases} 2x — 6y = 10 \\ 8y = 7 — 2x \end{cases} \) Приведём обе строки системы к виду \( y = kx + b \), чтобы определить коэффициенты наклона и свободные члены. Из первого уравнения выражаем \( y \): \( 2x — 6y = 10 \Rightarrow -6y = -2x + 10 \Rightarrow y = \frac{1}{3}x — \frac{5}{3} \). Из второго уравнения: \( 8y = 7 — 2x \Rightarrow y = -\frac{1}{4}x + \frac{7}{8} \).
Получаем систему в виде \( \begin{cases} y = \frac{1}{3}x — \frac{5}{3} \\ y = -\frac{1}{4}x + \frac{7}{8} \end{cases} \). Сравниваем коэффициенты наклона: \( k_1 = \frac{1}{3} \) и \( k_2 = -\frac{1}{4} \). Поскольку \( k_1 \neq k_2 \), прямые имеют разные наклоны, следовательно, они пересекаются в одной точке. Система имеет единственное решение.
б) \( \begin{cases} 3x — 12 = 8y \\ 1,5x — 4y = 6 \end{cases} \) Преобразуем первое уравнение: \( 3x — 12 = 8y \Rightarrow 8y = 3x — 12 \Rightarrow y = \frac{3}{8}x — \frac{3}{2} \). Преобразуем второе уравнение: \( 1,5x — 4y = 6 \Rightarrow -4y = -1,5x + 6 \Rightarrow 4y = 1,5x — 6 \Rightarrow y = \frac{3}{8}x — \frac{3}{2} \).
После преобразования получаем \( \begin{cases} y = \frac{3}{8}x — \frac{3}{2} \\ y = \frac{3}{8}x — \frac{3}{2} \end{cases} \). Оба уравнения идентичны: коэффициенты наклона совпадают \( k_1 = k_2 = \frac{3}{8} \) и свободные члены совпадают \( b_1 = b_2 = -\frac{3}{2} \). Это означает, что обе прямые совпадают полностью, то есть это одна и та же прямая. Система имеет бесконечно много решений, так как любая точка на этой прямой удовлетворяет обоим уравнениям.
в) \( \begin{cases} y = 4x \\ x — 8 = -6y \end{cases} \) Первое уравнение уже имеет вид \( y = 4x \), откуда \( k_1 = 4 \) и \( b_1 = 0 \). Преобразуем второе уравнение: \( x — 8 = -6y \Rightarrow -6y = x — 8 \Rightarrow 6y = -x + 8 \Rightarrow y = -\frac{1}{6}x + \frac{4}{3} \), откуда \( k_2 = -\frac{1}{6} \) и \( b_2 = \frac{4}{3} \).
Система принимает вид \( \begin{cases} y = 4x \\ y = -\frac{1}{6}x + \frac{4}{3} \end{cases} \). Сравниваем коэффициенты наклона: \( k_1 = 4 \) и \( k_2 = -\frac{1}{6} \). Поскольку \( k_1 \neq k_2 \), прямые не параллельны и имеют разные направления. Они обязательно пересекаются в одной точке. Система имеет единственное решение.
г) \( \begin{cases} x + y = 5 \\ 3x — 2y = 8 \end{cases} \) Из первого уравнения выражаем \( y \): \( x + y = 5 \Rightarrow y = -x + 5 \), откуда \( k_1 = -1 \) и \( b_1 = 5 \). Из второго уравнения: \( 3x — 2y = 8 \Rightarrow -2y = -3x + 8 \Rightarrow 2y = 3x — 8 \Rightarrow y = 1,5x — 4 \), откуда \( k_2 = 1,5 \) и \( b_2 = -4 \).
Получаем систему \( \begin{cases} y = -x + 5 \\ y = 1,5x — 4 \end{cases} \). Коэффициенты наклона различны: \( k_1 = -1 \) и \( k_2 = 1,5 \), то есть \( k_1 \neq k_2 \). Это означает, что прямые не параллельны и пересекаются в одной точке. Система имеет единственное решение.
д) \( \begin{cases} 3 — 3y = 4x \\ -8x = 6y — 6 \end{cases} \) Преобразуем первое уравнение: \( 3 — 3y = 4x \Rightarrow -3y = 4x — 3 \Rightarrow 3y = -4x + 3 \Rightarrow y = -\frac{4}{3}x + 1 \), откуда \( k_1 = -\frac{4}{3} \) и \( b_1 = 1 \). Преобразуем второе уравнение: \( -8x = 6y — 6 \Rightarrow 6y = -8x + 6 \Rightarrow y = -\frac{4}{3}x + 1 \), откуда \( k_2 = -\frac{4}{3} \) и \( b_2 = 1 \).
После преобразования получаем \( \begin{cases} y = -\frac{4}{3}x + 1 \\ y = -\frac{4}{3}x + 1 \end{cases} \). Оба уравнения полностью совпадают: коэффициенты наклона равны \( k_1 = k_2 = -\frac{4}{3} \) и свободные члены равны \( b_1 = b_2 = 1 \). Это означает, что обе прямые геометрически совпадают. Система имеет бесконечно много решений, так как каждая точка на этой прямой является решением системы.
е) \( \begin{cases} x + 4y = 5 \\ y + 3 = 0 \end{cases} \) Из первого уравнения выражаем \( y \): \( x + 4y = 5 \Rightarrow 4y = -x + 5 \Rightarrow y = -\frac{1}{4}x + \frac{5}{4} \), откуда \( k_1 = -\frac{1}{4} \) и \( b_1 = \frac{5}{4} \). Из второго уравнения: \( y + 3 = 0 \Rightarrow y = -3 \), что можно записать как \( y = 0 \cdot x — 3 \), откуда \( k_2 = 0 \) и \( b_2 = -3 \).
Система принимает вид \( \begin{cases} y = -\frac{1}{4}x + \frac{5}{4} \\ y = -3 \end{cases} \). Первая прямая имеет наклон \( k_1 = -\frac{1}{4} \), а вторая прямая горизонтальна с наклоном \( k_2 = 0 \). Поскольку \( k_1 \neq k_2 \), прямые не параллельны и пересекаются в одной точке. Система имеет единственное решение.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!