Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 688 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
(Для работы в парах.) Имеет ли решения система уравнений и сколько:
а) \( \begin{cases} 7x + y = 8, \\ x — y + 3 = 0; \end{cases} \)
б) \( \begin{cases} 6y — 4x = 7, \\ 8x — 12y = -14; \end{cases} \)
в) \( \begin{cases} x — 2y = 6, \\ y = -4x? \end{cases} \)
1) Обсудите друг с другом, от чего зависит ответ на вопрос задачи.
2) Выполните совместно задание а).
3) Распределите, кто выполняет задание б), а кто — задание в), и выполните их.
4) Проверьте друг у друга правильность выполнения заданий и исправьте ошибки, если они допущены.
Если \( k_1 \neq k_2 \), то прямые пересекаются и система имеет единственное решение;
если \( k_1 = k_2 \), но \( b_1 \neq b_2 \), то прямые параллельны и система не имеет решений;
если \( k_1 = k_2 \) и \( b_1 = b_2 \), то прямые совпадают и система имеет бесконечно много решений.
а) \( \begin{cases} 7x + y = 8 \\ x — y + 3 = 0 \end{cases} \) \( \begin{cases} y = -7x + 8 \\ y = x + 3 \end{cases} \)
Так как \( k_1 \neq k_2 \), то система имеет единственное решение.
б) \( \begin{cases} 6y — 4x = 7 \\ 8x — 12y = -14 \end{cases} \) \( \begin{cases} 6y = 4x + 7 \\ 12y = 8x + 14 \end{cases} \) \( \begin{cases} y = \frac{2}{3}x + \frac{7}{6} \\ y = \frac{2}{3}x + \frac{7}{6} \end{cases} \)
Так как \( k_1 = k_2 \) и \( b_1 = b_2 \), то система имеет бесконечно много решений.
в) \( \begin{cases} x — 2y = 6 \\ y = -4x \end{cases} \) \( \begin{cases} 2y = x — 6 \\ y = -4x \end{cases} \) \( \begin{cases} y = 0,5x — 3 \\ y = -4x \end{cases} \)
Так как \( k_1 \neq k_2 \), то система имеет единственное решение.
а) \( \begin{cases} 7x + y = 8 \\ x — y + 3 = 0 \end{cases} \) \( \begin{cases} y = -7x + 8 \\ y = x + 3 \end{cases} \)
Для анализа этой системы необходимо привести оба уравнения к виду \( y = k_1x + b_1 \) и \( y = k_2x + b_2 \), где \( k \) — угловой коэффициент прямой, а \( b \) — свободный член. Из первого уравнения \( 7x + y = 8 \) выражаем \( y \): получаем \( y = -7x + 8 \). Из второго уравнения \( x — y + 3 = 0 \) выражаем \( y \): получаем \( y = x + 3 \). Теперь видно, что первая прямая имеет угловой коэффициент \( k_1 = -7 \) и свободный член \( b_1 = 8 \), а вторая прямая имеет угловой коэффициент \( k_2 = 1 \) и свободный член \( b_2 = 3 \).
Поскольку \( k_1 = -7 \neq 1 = k_2 \), угловые коэффициенты прямых не равны между собой. Это означает, что прямые имеют разные наклоны и обязательно пересекаются в одной точке. Согласно теории систем линейных уравнений, когда две прямые пересекаются, система имеет ровно одно решение — координаты точки пересечения этих прямых. Таким образом, система имеет единственное решение.
б) \( \begin{cases} 6y — 4x = 7 \\ 8x — 12y = -14 \end{cases} \) \( \begin{cases} 6y = 4x + 7 \\ 12y = 8x + 14 \end{cases} \) \( \begin{cases} y = \frac{2}{3}x + \frac{7}{6} \\ y = \frac{2}{3}x + \frac{7}{6} \end{cases} \)
Приведём оба уравнения к стандартному виду. Из первого уравнения \( 6y — 4x = 7 \) получаем \( 6y = 4x + 7 \), откуда \( y = \frac{4}{6}x + \frac{7}{6} = \frac{2}{3}x + \frac{7}{6} \). Из второго уравнения \( 8x — 12y = -14 \) получаем \( -12y = -8x — 14 \), откуда \( 12y = 8x + 14 \), и далее \( y = \frac{8}{12}x + \frac{14}{12} = \frac{2}{3}x + \frac{7}{6} \). Оба уравнения после преобразования дают одинаковый результат: \( y = \frac{2}{3}x + \frac{7}{6} \).
Мы видим, что оба уравнения системы представляют одну и ту же прямую, поскольку имеют одинаковые угловые коэффициенты \( k_1 = k_2 = \frac{2}{3} \) и одинаковые свободные члены \( b_1 = b_2 = \frac{7}{6} \). Когда две прямые совпадают, то есть являются одной и той же линией, любая точка, лежащая на этой прямой, удовлетворяет обоим уравнениям одновременно. Это означает, что система имеет бесконечно много решений — все координаты всех точек, принадлежащих этой прямой, являются решениями системы.
в) \( \begin{cases} x — 2y = 6 \\ y = -4x \end{cases} \) \( \begin{cases} 2y = x — 6 \\ y = -4x \end{cases} \) \( \begin{cases} y = 0,5x — 3 \\ y = -4x \end{cases} \)
Преобразуем первое уравнение к виду с явным выражением \( y \). Из уравнения \( x — 2y = 6 \) получаем \( -2y = -x + 6 \), откуда \( 2y = x — 6 \), и далее \( y = \frac{1}{2}x — 3 = 0,5x — 3 \). Второе уравнение уже дано в нужном виде: \( y = -4x \). Таким образом, первая прямая имеет угловой коэффициент \( k_1 = 0,5 \) и свободный член \( b_1 = -3 \), а вторая прямая имеет угловой коэффициент \( k_2 = -4 \) и свободный член \( b_2 = 0 \).
Поскольку \( k_1 = 0,5 \neq -4 = k_2 \), угловые коэффициенты прямых различны. Это означает, что прямые имеют разные наклоны и не могут быть параллельными или совпадающими. Две прямые с разными угловыми коэффициентами всегда пересекаются ровно в одной точке. Следовательно, система имеет единственное решение, которое соответствует координатам точки пересечения этих двух прямых на плоскости.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!