ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 689 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Выясните, каково взаимное расположение на координатной плоскости графиков уравнений данной системы и сделайте вывод о том, имеет ли система решение, и, если имеет, то сколько:

а) \( \begin{cases} 3x — y = 5, \\ 3x + 2y = 8; \end{cases} \)

б) \( \begin{cases} 2y — x = 4, \\ y — 2x = 0; \end{cases} \)

в) \( \begin{cases} y = 0,5x + 2, \\ y = 0,5x — 4. \end{cases} \)

а) \( \begin{cases} 3x — y = 5 \\ 3x + 2y = 8 \end{cases} \) \( \Rightarrow \) \( \begin{cases} y = 3x — 5 \\ 2y = -3x + 8 \end{cases} \) \( \Rightarrow \) \( \begin{cases} y = 3x — 5 \\ y = -1,5x + 4 \end{cases} \)

Так как \( k_1 \neq k_2 \), то прямые пересекаются и система имеет единственное решение.

б) \( \begin{cases} 2y — x = 4 \\ y — 2x = 0 \end{cases} \) \( \Rightarrow \) \( \begin{cases} 2y = x + 4 \\ y = 2x \end{cases} \) \( \Rightarrow \) \( \begin{cases} y = 0,5x + 2 \\ y = 2x \end{cases} \)

Так как \( k_1 \neq k_2 \), то прямые пересекаются и система имеет единственное решение.

в) \( \begin{cases} y = 0,5x + 2 \\ y = 0,5x — 4 \end{cases} \)

Так как \( k_1 = k_2 \), но \( b_1 \neq b_2 \), то прямые параллельны и система не имеет решений.

а) \( \begin{cases} 3x — y = 5 \\ 3x + 2y = 8 \end{cases} \) \( \Rightarrow \) \( \begin{cases} y = 3x — 5 \\ 2y = -3x + 8 \end{cases} \) \( \Rightarrow \) \( \begin{cases} y = 3x — 5 \\ y = -1,5x + 4 \end{cases} \)

Для анализа этой системы необходимо привести оба уравнения к виду \( y = kx + b \), где \( k \) — угловой коэффициент, а \( b \) — свободный член. Из первого уравнения \( 3x — y = 5 \) выражаем \( y = 3x — 5 \), откуда \( k_1 = 3 \) и \( b_1 = -5 \). Из второго уравнения \( 3x + 2y = 8 \) получаем \( 2y = -3x + 8 \), следовательно, \( y = -1,5x + 4 \), откуда \( k_2 = -1,5 \) и \( b_2 = 4 \).

Поскольку угловые коэффициенты различны, то есть \( k_1 = 3 \neq -1,5 = k_2 \), прямые, представляющие эти уравнения, пересекаются в одной точке. Геометрически это означает, что графики двух линейных функций имеют разные наклоны и обязательно пересекутся. Алгебраически это гарантирует существование единственной пары значений \( x \) и \( y \), которая удовлетворяет обоим уравнениям одновременно. Таким образом, система имеет единственное решение.

б) \( \begin{cases} 2y — x = 4 \\ y — 2x = 0 \end{cases} \) \( \Rightarrow \) \( \begin{cases} 2y = x + 4 \\ y = 2x \end{cases} \) \( \Rightarrow \) \( \begin{cases} y = 0,5x + 2 \\ y = 2x \end{cases} \)

Преобразуем систему к стандартному виду. Из первого уравнения \( 2y — x = 4 \) выражаем \( 2y = x + 4 \), откуда \( y = 0,5x + 2 \), то есть \( k_1 = 0,5 \) и \( b_1 = 2 \). Из второго уравнения \( y — 2x = 0 \) получаем \( y = 2x \), откуда \( k_2 = 2 \) и \( b_2 = 0 \). Оба уравнения успешно приведены к линейному виду \( y = kx + b \).

Сравнивая угловые коэффициенты, видим, что \( k_1 = 0,5 \neq 2 = k_2 \). Различие в коэффициентах наклона означает, что прямые имеют разные углы наклона к оси абсцисс и обязательно пересекутся в одной единственной точке. Это пересечение соответствует единственному решению системы уравнений. Геометрически две прямые с разными угловыми коэффициентами никогда не могут быть параллельны или совпадать, поэтому они всегда имеют ровно одну общую точку.

в) \( \begin{cases} y = 0,5x + 2 \\ y = 0,5x — 4 \end{cases} \)

Данная система уже представлена в стандартном виде \( y = kx + b \). Из первого уравнения \( y = 0,5x + 2 \) имеем \( k_1 = 0,5 \) и \( b_1 = 2 \). Из второго уравнения \( y = 0,5x — 4 \) получаем \( k_2 = 0,5 \) и \( b_2 = -4 \). Оба уравнения уже находятся в требуемой форме, поэтому дополнительных преобразований не требуется.

Анализируя коэффициенты, обнаруживаем, что угловые коэффициенты совпадают: \( k_1 = k_2 = 0,5 \). Однако свободные члены различны: \( b_1 = 2 \neq -4 = b_2 \). Когда угловые коэффициенты равны, но свободные члены отличаются, это означает, что прямые параллельны друг другу. Параллельные прямые имеют одинаковый наклон, но расположены на разных расстояниях от начала координат. Геометрически такие прямые никогда не пересекаются, поскольку они движутся в одном направлении и никогда не встречаются. Следовательно, не существует ни одной пары значений \( x \) и \( y \), которая одновременно удовлетворяла бы обоим уравнениям, и система не имеет решений. Множество решений является пустым множеством \( \emptyset \).