Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 689 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Выясните, каково взаимное расположение на координатной плоскости графиков уравнений данной системы и сделайте вывод о том, имеет ли система решение, и, если имеет, то сколько:
а) \( \begin{cases} 3x — y = 5, \\ 3x + 2y = 8; \end{cases} \)
б) \( \begin{cases} 2y — x = 4, \\ y — 2x = 0; \end{cases} \)
в) \( \begin{cases} y = 0,5x + 2, \\ y = 0,5x — 4. \end{cases} \)
а) \( \begin{cases} 3x — y = 5 \\ 3x + 2y = 8 \end{cases} \) \( \Rightarrow \) \( \begin{cases} y = 3x — 5 \\ 2y = -3x + 8 \end{cases} \) \( \Rightarrow \) \( \begin{cases} y = 3x — 5 \\ y = -1,5x + 4 \end{cases} \)
Так как \( k_1 \neq k_2 \), то прямые пересекаются и система имеет единственное решение.
б) \( \begin{cases} 2y — x = 4 \\ y — 2x = 0 \end{cases} \) \( \Rightarrow \) \( \begin{cases} 2y = x + 4 \\ y = 2x \end{cases} \) \( \Rightarrow \) \( \begin{cases} y = 0,5x + 2 \\ y = 2x \end{cases} \)
Так как \( k_1 \neq k_2 \), то прямые пересекаются и система имеет единственное решение.
в) \( \begin{cases} y = 0,5x + 2 \\ y = 0,5x — 4 \end{cases} \)
Так как \( k_1 = k_2 \), но \( b_1 \neq b_2 \), то прямые параллельны и система не имеет решений.
а) \( \begin{cases} 3x — y = 5 \\ 3x + 2y = 8 \end{cases} \) \( \Rightarrow \) \( \begin{cases} y = 3x — 5 \\ 2y = -3x + 8 \end{cases} \) \( \Rightarrow \) \( \begin{cases} y = 3x — 5 \\ y = -1,5x + 4 \end{cases} \)
Для анализа этой системы необходимо привести оба уравнения к виду \( y = kx + b \), где \( k \) — угловой коэффициент, а \( b \) — свободный член. Из первого уравнения \( 3x — y = 5 \) выражаем \( y = 3x — 5 \), откуда \( k_1 = 3 \) и \( b_1 = -5 \). Из второго уравнения \( 3x + 2y = 8 \) получаем \( 2y = -3x + 8 \), следовательно, \( y = -1,5x + 4 \), откуда \( k_2 = -1,5 \) и \( b_2 = 4 \).
Поскольку угловые коэффициенты различны, то есть \( k_1 = 3 \neq -1,5 = k_2 \), прямые, представляющие эти уравнения, пересекаются в одной точке. Геометрически это означает, что графики двух линейных функций имеют разные наклоны и обязательно пересекутся. Алгебраически это гарантирует существование единственной пары значений \( x \) и \( y \), которая удовлетворяет обоим уравнениям одновременно. Таким образом, система имеет единственное решение.
б) \( \begin{cases} 2y — x = 4 \\ y — 2x = 0 \end{cases} \) \( \Rightarrow \) \( \begin{cases} 2y = x + 4 \\ y = 2x \end{cases} \) \( \Rightarrow \) \( \begin{cases} y = 0,5x + 2 \\ y = 2x \end{cases} \)
Преобразуем систему к стандартному виду. Из первого уравнения \( 2y — x = 4 \) выражаем \( 2y = x + 4 \), откуда \( y = 0,5x + 2 \), то есть \( k_1 = 0,5 \) и \( b_1 = 2 \). Из второго уравнения \( y — 2x = 0 \) получаем \( y = 2x \), откуда \( k_2 = 2 \) и \( b_2 = 0 \). Оба уравнения успешно приведены к линейному виду \( y = kx + b \).
Сравнивая угловые коэффициенты, видим, что \( k_1 = 0,5 \neq 2 = k_2 \). Различие в коэффициентах наклона означает, что прямые имеют разные углы наклона к оси абсцисс и обязательно пересекутся в одной единственной точке. Это пересечение соответствует единственному решению системы уравнений. Геометрически две прямые с разными угловыми коэффициентами никогда не могут быть параллельны или совпадать, поэтому они всегда имеют ровно одну общую точку.
в) \( \begin{cases} y = 0,5x + 2 \\ y = 0,5x — 4 \end{cases} \)
Данная система уже представлена в стандартном виде \( y = kx + b \). Из первого уравнения \( y = 0,5x + 2 \) имеем \( k_1 = 0,5 \) и \( b_1 = 2 \). Из второго уравнения \( y = 0,5x — 4 \) получаем \( k_2 = 0,5 \) и \( b_2 = -4 \). Оба уравнения уже находятся в требуемой форме, поэтому дополнительных преобразований не требуется.
Анализируя коэффициенты, обнаруживаем, что угловые коэффициенты совпадают: \( k_1 = k_2 = 0,5 \). Однако свободные члены различны: \( b_1 = 2 \neq -4 = b_2 \). Когда угловые коэффициенты равны, но свободные члены отличаются, это означает, что прямые параллельны друг другу. Параллельные прямые имеют одинаковый наклон, но расположены на разных расстояниях от начала координат. Геометрически такие прямые никогда не пересекаются, поскольку они движутся в одном направлении и никогда не встречаются. Следовательно, не существует ни одной пары значений \( x \) и \( y \), которая одновременно удовлетворяла бы обоим уравнениям, и система не имеет решений. Множество решений является пустым множеством \( \emptyset \).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!