ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 690 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Прямая \( a \) задана уравнением \( x + 2y = 5 \). Среди уравнений прямых: \( x + y = 5 \); \( \frac{1}{4}y — 4x = 0 \); \( 6y + 3x = 10 \); \( 0,6x — 3 = -1,2 \); \( 2x + 4y = 10 \); \( 2x + 4y = 9 \); \( 15 — 3x = 6y \); \( 0,5y + 0,25x = 4,8 \) найдите те, которые вместе с уравнением прямой \( a \) образуют систему: 1) имеющую единственное решение; 2) не имеющую решений; 3) имеющую бесконечно много решений.

Прямая \( a \) задана уравнением:
\( x + 2y = 5 \Leftrightarrow 2y = -x + 5 \Leftrightarrow y = -0,5x + 2,5 \).

Выразим в каждом данном уравнении \( y \) через \( x \):

\( x + y = 5 \Leftrightarrow y = -x + 5 \);

\( \frac{1}{4}y — 4x = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{4}y = 4x \Leftrightarrow y = 16x \);

\( 6y + 3x = 10 \Leftrightarrow 6y = -3x + 10 \Leftrightarrow y = -0,5x + \frac{5}{3} \);

\( 0,6x — 3 = -1,2 \);

\( 2x + 4y = 10 \Leftrightarrow 4y = -2x + 10 \Leftrightarrow y = -0,5x + 2,5 \);

\( 2x + 4y = 9 \Leftrightarrow 4y = -2x + 9 \Leftrightarrow y = -0,5x + 2,25 \);

\( 15 — 3x = 6y \Leftrightarrow y = -0,5x + 2,5 \);

\( 0,5y + 0,25x = 4,8 \Leftrightarrow 0,5y = -0,25x + 4,8 \Leftrightarrow y = -0,5x + 9,6 \).

Таким образом:

1) единственное решение образуют уравнения (вместе с уравнением прямой \( a \)):
\( x + y = 5 \); \( \frac{1}{4}y — 4x = 0 \); \( 0,6x — 3 = -1,2 \).

2) не имеют решений уравнения (вместе с уравнением прямой \( a \)):
\( 6y + 3x = 10 \); \( 2x + 4y = 9 \); \( 0,5y + 0,25x = 4,8 \).

3) имеют бесконечно много решений уравнения (вместе с уравнением прямой \( a \)):
\( 2x + 4y = 10 \); \( 15 — 3x = 6y \).

Дана прямая \( a \) с уравнением \( x + 2y = 5 \), которое можно переписать в виде \( y = -0,5x + 2,5 \). Это уравнение задаёт прямую линию на координатной плоскости с угловым коэффициентом \( -0,5 \) и точкой пересечения с осью ординат в точке \( (0; 2,5) \). Для того чтобы определить, какие из предложенных уравнений образуют с прямой \( a \) систему с единственным решением, бесконечным множеством решений или не имеют решений, необходимо выразить переменную \( y \) через \( x \) в каждом уравнении и сравнить полученные прямые с исходной.

Процесс преобразования уравнений заключается в алгебраических преобразованиях. Для первого уравнения \( x + y = 5 \) получаем \( y = -x + 5 \), что даёт прямую с угловым коэффициентом \( -1 \) и свободным членом \( 5 \). Эта прямая не параллельна прямой \( a \) (так как коэффициенты при \( x \) различны: \( -1 \neq -0,5 \)), поэтому она пересекает прямую \( a \) в одной точке, образуя систему с единственным решением. Для второго уравнения \( \frac{1}{4}y — 4x = 0 \) умножаем обе части на 4 и получаем \( y — 16x = 0 \), откуда \( y = 16x \). Это прямая с угловым коэффициентом \( 16 \), которая также не параллельна прямой \( a \) и пересекает её в одной точке.

Третье уравнение \( 6y + 3x = 10 \) преобразуется следующим образом: \( 6y = -3x + 10 \), затем \( y = -0,5x + \frac{10}{6} = -0,5x + \frac{5}{3} \). Здесь угловой коэффициент совпадает с коэффициентом прямой \( a \) (\( -0,5 = -0,5 \)), но свободные члены различны (\( \frac{5}{3} \approx 1,67 \neq 2,5 \)). Это означает, что прямые параллельны и не пересекаются, поэтому система не имеет решений. Четвёртое уравнение \( 0,6x — 3 = -1,2 \) не содержит переменную \( y \), это уравнение с одной переменной. Решая его: \( 0,6x = -1,2 + 3 = 1,8 \), получаем \( x = 3 \). Это уравнение определяет вертикальную линию \( x = 3 \), которая пересекает прямую \( a \) в одной точке, образуя систему с единственным решением.

Пятое уравнение \( 2x + 4y = 10 \) преобразуется так: \( 4y = -2x + 10 \), затем \( y = -0,5x + 2,5 \). Это уравнение идентично исходному уравнению прямой \( a \), так как оба имеют одинаковый угловой коэффициент \( -0,5 \) и одинаковый свободный член \( 2,5 \). Следовательно, это одна и та же прямая, и система имеет бесконечное множество решений, так как любая точка на этой прямой удовлетворяет обоим уравнениям. Шестое уравнение \( 2x + 4y = 9 \) преобразуется в \( 4y = -2x + 9 \), откуда \( y = -0,5x + 2,25 \). Угловой коэффициент совпадает с коэффициентом прямой \( a \) (\( -0,5 = -0,5 \)), но свободные члены различны (\( 2,25 \neq 2,5 \)). Прямые параллельны, поэтому система не имеет решений.

Седьмое уравнение \( 15 — 3x = 6y \) переписывается как \( 6y = -3x + 15 \), затем \( y = -0,5x + 2,5 \). Это снова уравнение, эквивалентное прямой \( a \), поскольку угловой коэффициент и свободный член совпадают. Система имеет бесконечное множество решений. Восьмое уравнение \( 0,5y + 0,25x = 4,8 \) преобразуется следующим образом: \( 0,5y = -0,25x + 4,8 \), умножаем на 2 и получаем \( y = -0,5x + 9,6 \). Угловой коэффициент совпадает (\( -0,5 = -0,5 \)), но свободные члены различны (\( 9,6 \neq 2,5 \)). Прямые параллельны и не пересекаются, поэтому система не имеет решений.

На основе проведённого анализа все уравнения можно классифицировать по трём категориям. К первой категории относятся уравнения, которые образуют с прямой \( a \) систему с единственным решением: это \( x + y = 5 \), \( \frac{1}{4}y — 4x = 0 \) и \( 0,6x — 3 = -1,2 \). Ко второй категории относятся уравнения, которые не имеют решений вместе с прямой \( a \): это \( 6y + 3x = 10 \), \( 2x + 4y = 9 \) и \( 0,5y + 0,25x = 4,8 \). К третьей категории относятся уравнения, которые имеют бесконечное множество решений: это \( 2x + 4y = 10 \) и \( 15 — 3x = 6y \). Такая классификация основана на сравнении угловых коэффициентов и свободных членов полученных линейных функций, что позволяет определить взаимное расположение прямых на плоскости.