ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 692 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

В системе двух уравнений с двумя переменными первым является уравнение \( y — |x| = 0 \), а вторым — уравнение вида \( y = kx + b \), где \( k \) и \( b \) — некоторые числа. Известно, что прямая — график второго уравнения пересекает ось \( x \) в точке \( (-3; 0) \). Подберите в уравнении \( y = kx + b \) коэффициенты \( k \) и \( b \) так, чтобы система:

1) имела два решения;

2) имела одно решение;

3) не имела решений.

Выразим \( y \) через \( x \) в первом уравнении системы: \( y — [x] = 0 \Leftrightarrow y = [x] \);

\( y = \begin{cases} x, \text{ если } x \geq 0 \\ -x, \text{ если } x < 0 \end{cases} \) \( \Rightarrow \) график функции расположен в первой и второй координатных четвертях. 1) Если система имеет два решения, то второй график должен пройти через оба графика первого уравнения. График второго уравнения пересекает ось \( x \) в точке \( (-3; 0) \). Подставим \( x = -3 \) и \( y = 0 \) в уравнение вида \( y = kx + b \), где \( k \neq 1 \) и \( 0 < k < 1 \): \( 0 = -3k + b \Rightarrow b = 3k \). Если \( k = 0,5 \), то \( b = 1,5 \). Получили уравнение: \( y = 0,5x + 1,5 \). 2) Если система имеет одно решение, то второй график должен пересекаться с графиком \( y = -x \) и должен пройти параллельно графику \( y = x \). График второго уравнения пересекает ось \( x \) в точке \( (-3; 0) \). Подставим \( x = -3 \) и \( y = 0 \) в уравнение вида \( y = kx + b \), где \( k = 1 \): \( 0 = -3 \cdot 1 + b \Rightarrow b = 3 \). Получили уравнение: \( y = x + 3 \). 3) Если система не имеет решений, то второй график должен пройти параллельно графику \( y = -x \). График второго уравнения пересекает ось \( x \) в точке \( (-3; 0) \). Подставим \( x = -3 \) и \( y = 0 \) в уравнение вида \( y = kx + b \), где \( k = -1 \): \( 0 = -3 \cdot (-1) + b \Rightarrow b = -3 \). Получили уравнение: \( y = -x - 3 \). Ответ: а) \( k = 0,5; b = 1,5 \); б) \( k = 1, b = 3 \); в) \( k = -1, b = -3 \).

Для решения этой задачи необходимо сначала разобраться с первым уравнением системы, которое содержит функцию модуля. Выразим \( y \) через \( x \) из первого уравнения \( y — |x| = 0 \), получаем \( y = |x| \). Функция модуля определяется следующим образом: \( y = \begin{cases} x, \text{ если } x \geq 0 \\ -x, \text{ если } x < 0 \end{cases} \). Это означает, что график функции \( y = |x| \) представляет собой две полупрямые: одна с углом наклона 1 в первой четверти координатной плоскости (при \( x \geq 0 \)) и одна с углом наклона -1 во второй четверти (при \( x < 0 \)). Эти две полупрямые встречаются в начале координат в точке \( (0; 0) \) и образуют характерный угол, похожий на букву V. Второе уравнение системы имеет вид \( y = kx + b \), что представляет собой прямую линию с угловым коэффициентом \( k \) и свободным членом \( b \). Количество решений системы зависит от того, сколько точек пересечения будет иметь эта прямая с графиком функции \( y = |x| \). Из условия задачи известно, что прямая проходит через точку \( (-3; 0) \), то есть пересекает ось абсцисс в этой точке. Подставляя координаты этой точки в уравнение прямой, получаем: \( 0 = k \cdot (-3) + b \), откуда следует соотношение \( b = 3k \). Это соотношение будет использоваться для всех трех случаев. а) Для случая, когда система имеет ровно два решения, прямая должна пересечь оба луча графика функции \( y = |x| \). Это происходит, когда угловой коэффициент прямой находится в диапазоне \( 0 < k < 1 \). При таких значениях \( k \) прямая имеет положительный наклон, но менее крутой, чем луч \( y = x \) при \( x > 0 \). Прямая пересечет луч \( y = -x \) (при \( x < 0 \)) в одной точке и луч \( y = x \) (при \( x > 0 \)) в другой точке. Возьмем конкретное значение \( k = 0,5 \), которое удовлетворяет условию \( 0 < k < 1 \). Тогда из соотношения \( b = 3k \) получаем \( b = 3 \cdot 0,5 = 1,5 \). Таким образом, уравнение прямой имеет вид \( y = 0,5x + 1,5 \). Проверим: при \( x = -3 \) получаем \( y = 0,5 \cdot (-3) + 1,5 = -1,5 + 1,5 = 0 \), что соответствует точке \( (-3; 0) \). б) Для случая, когда система имеет ровно одно решение, прямая должна касаться вершины графика функции \( y = |x| \) или быть параллельна одному из лучей и пересекать другой. Наиболее интересный случай — это когда прямая параллельна лучу \( y = x \) при \( x > 0 \), то есть когда \( k = 1 \). В этом случае прямая не пересекает луч \( y = x \), но пересекает луч \( y = -x \) в единственной точке. Из соотношения \( b = 3k \) при \( k = 1 \) получаем \( b = 3 \cdot 1 = 3 \). Уравнение прямой принимает вид \( y = x + 3 \). Проверим: при \( x = -3 \) получаем \( y = -3 + 3 = 0 \), что соответствует требуемой точке. Эта прямая параллельна правому лучу графика модуля и пересекает левый луч в точке, где \( -x = x + 3 \), откуда \( -2x = 3 \), то есть \( x = -1,5 \) и \( y = 1,5 \).

в) Для случая, когда система не имеет решений, прямая должна быть параллельна обоим лучам графика функции \( y = |x| \) или не пересекать их вообще. Это происходит, когда прямая параллельна лучу \( y = -x \) при \( x < 0 \), то есть когда \( k = -1 \). При таком значении углового коэффициента прямая имеет отрицательный наклон, совпадающий с наклоном левого луча графика модуля. Из соотношения \( b = 3k \) при \( k = -1 \) получаем \( b = 3 \cdot (-1) = -3 \). Уравнение прямой имеет вид \( y = -x - 3 \). Проверим: при \( x = -3 \) получаем \( y = -(-3) - 3 = 3 - 3 = 0 \), что соответствует точке \( (-3; 0) \). Поскольку эта прямая параллельна левому лучу \( y = -x \) и расположена ниже него (сдвинута на 3 единицы вниз), она не пересекает ни один из лучей графика модуля, что обеспечивает отсутствие решений системы.