ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 695 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Разложите на множители:

а) \( 16m^2 — 25n^4 \)

б) \( 0,09a^4 — 9b^2 \)

в) \( (2a + 3)^2 — 4 \)

г) \( 36 — (1 — 5x)^2 \)

а) \( 16m^2 — 25n^4 = (4m)^2 — (5n^2)^2 = (4m — 5n^2)(4m + 5n^2) \);

б) \( 0,09a^4 — 9b^2 = (0,3a^2)^2 — (3b)^2 = (0,3a^2 — 3b)(0,3a^2 + 3b) \);

в) \( (2a + 3)^2 — 4 = (2a + 3)^2 — 2^2 = (2a + 3 — 2)(2a + 3 + 2) = \) \( = (2a + 1)(2a + 5) \);

г) \( 36 — (1 — 5x)^2 = 6^2 — (1 — 5x)^2 = (6 — (1 — 5x)) \) \( \cdot (6 + (1 — 5x)) = (6 — 1 + 5x)(6 + 1 — 5x) = (5 + 5x)(7 — 5x) = \) \( = 5(1 + x)(7 — 5x) \).

а) \( 16m^2 — 25n^4 = (4m)^2 — (5n^2)^2 = (4m — 5n^2)(4m + 5n^2) \)

В этом примере мы применяем формулу разности квадратов, которая имеет вид \( A^2 — B^2 = (A — B)(A + B) \). Сначала необходимо представить оба члена выражения как полные квадраты. Первый член \( 16m^2 \) можно записать как \( (4m)^2 \), поскольку \( 4m \) в квадрате дает именно \( 16m^2 \). Второй член \( 25n^4 \) представляется как \( (5n^2)^2 \), так как \( 5n^2 \) в квадрате равно \( 25n^4 \).

После того как мы определили, что \( A = 4m \) и \( B = 5n^2 \), мы подставляем эти значения в формулу разности квадратов. Разность квадратов разлагается на произведение суммы и разности этих выражений: первый множитель получается вычитанием \( (4m — 5n^2) \), а второй множитель получается сложением \( (4m + 5n^2) \). Таким образом, исходное выражение полностью разложено на два линейных множителя относительно переменных \( m \) и \( n \).

б) \( 0,09a^4 — 9b^2 = (0,3a^2)^2 — (3b)^2 = (0,3a^2 — 3b)(0,3a^2 + 3b) \)

Здесь также применяется формула разности квадратов, но с десятичными коэффициентами и различными степенями переменных. Первый член \( 0,09a^4 \) представляется как \( (0,3a^2)^2 \), поскольку при возведении \( 0,3a^2 \) в квадрат получаем \( 0,09a^4 \). Проверим: \( 0,3 \times 0,3 = 0,09 \) и \( a^2 \times a^2 = a^4 \). Второй член \( 9b^2 \) записывается как \( (3b)^2 \), так как \( 3b \) в квадрате равно \( 9b^2 \).

Определив, что \( A = 0,3a^2 \) и \( B = 3b \), применяем формулу разности квадратов. Получаем произведение двух скобок: в первой скобке вычитаем \( (0,3a^2 — 3b) \), а во второй складываем \( (0,3a^2 + 3b) \). Важно заметить, что при работе с десятичными коэффициентами необходимо внимательно следить за правильностью преобразований, чтобы не допустить ошибок при возведении в квадрат.

в) \( (2a + 3)^2 — 4 = (2a + 3)^2 — 2^2 = (2a + 3 — 2)(2a + 3 + 2) = \) \( = (2a + 1)(2a + 5) \)

В этом случае мы имеем разность квадрата двучлена и числа. Ключевой момент — представить число \( 4 \) как полный квадрат: \( 4 = 2^2 \). Теперь выражение принимает форму, удобную для применения формулы разности квадратов, где \( A = (2a + 3) \) и \( B = 2 \). Это позволяет нам использовать стандартный алгоритм разложения.

Применяя формулу \( A^2 — B^2 = (A — B)(A + B) \), мы вычитаем \( B \) из \( A \) в первой скобке и складываем их во второй скобке. В первой скобке получаем \( (2a + 3) — 2 = 2a + 1 \), а во второй \( (2a + 3) + 2 = 2a + 5 \). Оба полученных множителя являются линейными выражениями относительно переменной \( a \), и их произведение дает исходное выражение.

г) \( 36 — (1 — 5x)^2 = 6^2 — (1 — 5x)^2 = (6 — (1 — 5x)) \) \( \cdot (6 + (1 — 5x)) = (6 — 1 + 5x)(6 + 1 — 5x) = (5 + 5x)(7 — 5x) = \) \( = 5(1 + x)(7 — 5x) \)

Здесь мы работаем с разностью квадратов, где первый член \( 36 = 6^2 \), а второй член представляет собой квадрат двучлена \( (1 — 5x)^2 \). Применяя формулу разности квадратов с \( A = 6 \) и \( B = (1 — 5x) \), получаем произведение \( (A — B)(A + B) \). Важно правильно раскрыть скобки при вычитании и сложении двучлена.

При вычитании скобки раскрываются с изменением знаков: \( 6 — (1 — 5x) = 6 — 1 + 5x = 5 + 5x \). При сложении знаки остаются прежними: \( 6 + (1 — 5x) = 6 + 1 — 5x = 7 — 5x \). Получив произведение \( (5 + 5x)(7 — 5x) \), замечаем, что первый множитель содержит общий множитель \( 5 \), который можно вынести за скобки: \( 5(1 + x)(7 — 5x) \). Это окончательное разложение на три множителя, где один из них — числовой коэффициент, а два других — линейные выражения относительно переменной \( x \).