ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 696 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Является ли решением системы уравнений
\( \begin{cases} x^2 + y^2 = 5, \\ 6x + 5y = -4 \end{cases} \)
пара чисел:

а) \( (-2; 1) \)

б) \( (1; -2) \)

а) \( (-2; 1) \); \( \begin{cases} x^2 + y^2 = 5 \\ 6x + 5y = -4 \end{cases} \) \( \begin{cases} (-2)^2 + 1^2 = 5 \\ 6 \cdot (-2) + 5 \cdot 1 = -4 \end{cases} \) \( \begin{cases} 5 = 5 \\ -7 \neq -4 \end{cases} \)

Следовательно, пара чисел \( (-2; 1) \) не является решением данной системы уравнений.

б) \( (1; -2) \); \( \begin{cases} x^2 + y^2 = 5 \\ 6x + 5y = -4 \end{cases} \) \( \begin{cases} 1^2 + (-2)^2 = 5 \\ 6 \cdot 1 + 5 \cdot (-2) = -4 \end{cases} \) \( \begin{cases} 5 = 5 \\ -4 = -4 \end{cases} \)

Следовательно, пара чисел \( (1; -2) \) является решением данной системы уравнений.

а) \( (-2; 1) \); \( \begin{cases} x^2 + y^2 = 5 \\ 6x + 5y = -4 \end{cases} \) Для проверки того, является ли пара чисел \( (-2; 1) \) решением системы уравнений, необходимо подставить значения \( x = -2 \) и \( y = 1 \) в оба уравнения системы и проверить, удовлетворяют ли они обоим условиям одновременно. Система состоит из двух уравнений: первое уравнение описывает окружность с радиусом \( \sqrt{5} \), а второе представляет собой линейное уравнение, определяющее прямую на координатной плоскости. Точка может быть решением системы только в том случае, если она одновременно лежит и на окружности, и на прямой.

Подставим \( x = -2 \) и \( y = 1 \) в первое уравнение: \( (-2)^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5 \). Это верно, так как \( 5 = 5 \), следовательно, точка \( (-2; 1) \) действительно лежит на окружности, определяемой первым уравнением. Теперь проверим второе уравнение, подставив те же значения: \( 6 \cdot (-2) + 5 \cdot 1 = -12 + 5 = -7 \). Однако второе уравнение требует, чтобы это выражение равнялось \( -4 \), а мы получили \( -7 \neq -4 \). Это означает, что точка \( (-2; 1) \) не удовлетворяет второму уравнению системы.

Поскольку пара чисел \( (-2; 1) \) удовлетворяет первому уравнению, но не удовлетворяет второму уравнению, она не является решением данной системы уравнений. Для того чтобы пара была решением, она должна удовлетворять обоим уравнениям одновременно. Геометрически это означает, что точка \( (-2; 1) \) лежит на окружности, но не лежит на прямой, поэтому она не является точкой пересечения этих двух кривых.

б) \( (1; -2) \); \( \begin{cases} x^2 + y^2 = 5 \\ 6x + 5y = -4 \end{cases} \) Проверим, является ли пара чисел \( (1; -2) \) решением данной системы, подставляя значения \( x = 1 \) и \( y = -2 \) в оба уравнения. Аналогично предыдущему случаю, точка может быть решением системы только если она одновременно удовлетворяет обоим уравнениям. Первое уравнение описывает окружность, а второе описывает прямую, поэтому решение системы — это точка пересечения окружности и прямой.

Подставим \( x = 1 \) и \( y = -2 \) в первое уравнение: \( 1^2 + (-2)^2 = 1 + 4 = 5 \). Получаем \( 5 = 5 \), что является верным равенством. Это подтверждает, что точка \( (1; -2) \) лежит на окружности, определяемой первым уравнением системы. Теперь проверим второе уравнение, подставив те же значения переменных: \( 6 \cdot 1 + 5 \cdot (-2) = 6 — 10 = -4 \). Получаем \( -4 = -4 \), что также является верным равенством.

Поскольку пара чисел \( (1; -2) \) удовлетворяет обоим уравнениям системы одновременно, она является решением данной системы уравнений. Это означает, что точка с координатами \( (1; -2) \) является точкой пересечения окружности \( x^2 + y^2 = 5 \) и прямой \( 6x + 5y = -4 \). Геометрически такая точка лежит одновременно на обеих кривых, что и требуется для решения системы двух уравнений с двумя неизвестными.