Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 697 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Решите графически систему уравнений
\( \begin{cases} y — x^2 = 0, \\ 2x — y + 3 = 0 \end{cases} \)
Решим систему уравнений:
\( \begin{cases} y — x^2 = 0 \\ 2x — y + 3 = 0 \end{cases} \) \( \Rightarrow \) \( \begin{cases} y = x^2 \\ y = 2x + 3 \end{cases} \)
Приравняем правые части уравнений:
\( x^2 = 2x + 3 \)
\( x^2 — 2x — 3 = 0 \)
\( (x — 3)(x + 1) = 0 \)
\( x_1 = -1, \quad x_2 = 3 \)
Найдём соответствующие значения \( y \):
При \( x_1 = -1: \) \( y_1 = (-1)^2 = 1 \)
При \( x_2 = 3: \) \( y_2 = 3^2 = 9 \)
Проверка по таблице значений функции \( y = x^2 \):
| x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| y | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
Графики пересекаются в двух точках: \( (-1; 1) \) и \( (3; 9) \).
Ответ: \( (-1; 1) \) и \( (3; 9) \).
Дана система уравнений, состоящая из уравнения параболы и уравнения прямой линии. Необходимо найти точки пересечения этих двух графиков. Система имеет вид: \( y — x^2 = 0 \) и \( 2x — y + 3 = 0 \). Первое уравнение описывает параболу \( y = x^2 \), ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при \( x^2 \) положительный. Второе уравнение описывает прямую линию, которую можно переписать в виде \( y = 2x + 3 \). Для решения системы необходимо приравнять выражения для \( y \) из обоих уравнений, так как в точках пересечения графиков значения \( y \) должны совпадать.
Приравняем правые части уравнений \( y = x^2 \) и \( y = 2x + 3 \). Получаем уравнение: \( x^2 = 2x + 3 \). Перенесём все члены в левую часть: \( x^2 — 2x — 3 = 0 \). Это квадратное уравнение можно решить несколькими способами. Применим метод разложения на множители. Нужно найти два числа, которые при умножении дают \( -3 \), а при сложении дают \( -2 \). Такими числами являются \( -3 \) и \( 1 \). Поэтому уравнение принимает вид: \( (x — 3)(x + 1) = 0 \). Из этого следует, что \( x — 3 = 0 \) или \( x + 1 = 0 \), откуда получаем два корня: \( x_1 = -1 \) и \( x_2 = 3 \).
Теперь найдём соответствующие значения координаты \( y \) для каждого значения \( x \). Для первой точки при \( x_1 = -1 \) подставим это значение в уравнение параболы \( y = x^2 \): \( y_1 = (-1)^2 = 1 \). Проверим это значение, подставив в уравнение прямой \( y = 2x + 3 \): \( y_1 = 2 \cdot (-1) + 3 = -2 + 3 = 1 \). Оба уравнения дают одинаковый результат, что подтверждает правильность первой точки пересечения: \( (-1; 1) \). Для второй точки при \( x_2 = 3 \) подставим это значение в уравнение параболы: \( y_2 = 3^2 = 9 \). Проверим по уравнению прямой: \( y_2 = 2 \cdot 3 + 3 = 6 + 3 = 9 \). Оба уравнения также дают одинаковый результат, что подтверждает правильность второй точки пересечения: \( (3; 9) \).
Для дополнительной проверки построим таблицу значений функции \( y = x^2 \) и убедимся, что найденные точки соответствуют исходным данным. Таблица показывает значения параболы для различных значений аргумента:
| x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| y | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
Из таблицы видно, что при \( x = -1 \) значение \( y = 1 \), а при \( x = 3 \) значение \( y = 9 \), что полностью совпадает с найденными точками пересечения. Прямая линия \( y = 2x + 3 \) проходит через точки \( (0; 3) \) и \( (-1; 1) \), что также подтверждается нашими вычислениями. На графике видно, что парабола и прямая пересекаются ровно в двух точках, так как квадратное уравнение имело два различных действительных корня. Геометрически это означает, что прямая пересекает параболу в двух местах, не касаясь её и не проходя мимо.
Таким образом, система уравнений имеет ровно два решения. Первое решение: \( (-1; 1) \), где координата \( x = -1 \) и координата \( y = 1 \). Второе решение: \( (3; 9) \), где координата \( x = 3 \) и координата \( y = 9 \). Оба решения удовлетворяют одновременно обоим уравнениям системы и являются координатами точек пересечения графиков параболы и прямой линии на координатной плоскости.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!