ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 697 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Решите графически систему уравнений
\( \begin{cases} y — x^2 = 0, \\ 2x — y + 3 = 0 \end{cases} \)

Решим систему уравнений:

\( \begin{cases} y — x^2 = 0 \\ 2x — y + 3 = 0 \end{cases} \) \( \Rightarrow \) \( \begin{cases} y = x^2 \\ y = 2x + 3 \end{cases} \)

Приравняем правые части уравнений:

\( x^2 = 2x + 3 \)

\( x^2 — 2x — 3 = 0 \)

\( (x — 3)(x + 1) = 0 \)

\( x_1 = -1, \quad x_2 = 3 \)

Найдём соответствующие значения \( y \):

При \( x_1 = -1: \) \( y_1 = (-1)^2 = 1 \)

При \( x_2 = 3: \) \( y_2 = 3^2 = 9 \)

Проверка по таблице значений функции \( y = x^2 \):

Графики пересекаются в двух точках: \( (-1; 1) \) и \( (3; 9) \).

Ответ: \( (-1; 1) \) и \( (3; 9) \).

Дана система уравнений, состоящая из уравнения параболы и уравнения прямой линии. Необходимо найти точки пересечения этих двух графиков. Система имеет вид: \( y — x^2 = 0 \) и \( 2x — y + 3 = 0 \). Первое уравнение описывает параболу \( y = x^2 \), ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при \( x^2 \) положительный. Второе уравнение описывает прямую линию, которую можно переписать в виде \( y = 2x + 3 \). Для решения системы необходимо приравнять выражения для \( y \) из обоих уравнений, так как в точках пересечения графиков значения \( y \) должны совпадать.

Приравняем правые части уравнений \( y = x^2 \) и \( y = 2x + 3 \). Получаем уравнение: \( x^2 = 2x + 3 \). Перенесём все члены в левую часть: \( x^2 — 2x — 3 = 0 \). Это квадратное уравнение можно решить несколькими способами. Применим метод разложения на множители. Нужно найти два числа, которые при умножении дают \( -3 \), а при сложении дают \( -2 \). Такими числами являются \( -3 \) и \( 1 \). Поэтому уравнение принимает вид: \( (x — 3)(x + 1) = 0 \). Из этого следует, что \( x — 3 = 0 \) или \( x + 1 = 0 \), откуда получаем два корня: \( x_1 = -1 \) и \( x_2 = 3 \).

Теперь найдём соответствующие значения координаты \( y \) для каждого значения \( x \). Для первой точки при \( x_1 = -1 \) подставим это значение в уравнение параболы \( y = x^2 \): \( y_1 = (-1)^2 = 1 \). Проверим это значение, подставив в уравнение прямой \( y = 2x + 3 \): \( y_1 = 2 \cdot (-1) + 3 = -2 + 3 = 1 \). Оба уравнения дают одинаковый результат, что подтверждает правильность первой точки пересечения: \( (-1; 1) \). Для второй точки при \( x_2 = 3 \) подставим это значение в уравнение параболы: \( y_2 = 3^2 = 9 \). Проверим по уравнению прямой: \( y_2 = 2 \cdot 3 + 3 = 6 + 3 = 9 \). Оба уравнения также дают одинаковый результат, что подтверждает правильность второй точки пересечения: \( (3; 9) \).

Для дополнительной проверки построим таблицу значений функции \( y = x^2 \) и убедимся, что найденные точки соответствуют исходным данным. Таблица показывает значения параболы для различных значений аргумента:

Из таблицы видно, что при \( x = -1 \) значение \( y = 1 \), а при \( x = 3 \) значение \( y = 9 \), что полностью совпадает с найденными точками пересечения. Прямая линия \( y = 2x + 3 \) проходит через точки \( (0; 3) \) и \( (-1; 1) \), что также подтверждается нашими вычислениями. На графике видно, что парабола и прямая пересекаются ровно в двух точках, так как квадратное уравнение имело два различных действительных корня. Геометрически это означает, что прямая пересекает параболу в двух местах, не касаясь её и не проходя мимо.

Таким образом, система уравнений имеет ровно два решения. Первое решение: \( (-1; 1) \), где координата \( x = -1 \) и координата \( y = 1 \). Второе решение: \( (3; 9) \), где координата \( x = 3 \) и координата \( y = 9 \). Оба решения удовлетворяют одновременно обоим уравнениям системы и являются координатами точек пересечения графиков параболы и прямой линии на координатной плоскости.