Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 698 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Изобразив схематически графики уравнений, выясните, имеет ли решения система уравнений и если имеет, то сколько:
а) \( \begin{cases} y = x^3, \\ xy = -12 \end{cases} \)
б) \( \begin{cases} y = x^2 + 8, \\ y = -x^2 + 12 \end{cases} \)
в) \( \begin{cases} y = x^2 + 1, \\ xy = 3 \end{cases} \)
а) \( \begin{cases} y = x^3 \\ y = -\frac{12}{x} \end{cases} \)
\( y = x^3 \) — возрастающая кубическая парабола, расположенная в первой и в третьей координатных четвертях;
\( y = -\frac{12}{x} \) — гипербола, расположенная во второй и в четвертой координатных четвертях.
Графики не пересекаются, значит, система уравнений не имеет решений.
Ответ: решений нет.
б) \( \begin{cases} y = x^2 + 8 \\ y = -x^2 + 12 \end{cases} \)
\( y = x^2 + 8 \) — парабола, ветви которой направлены вверх, вершина параболы — точка \( (0; 8) \);
\( y = -x^2 + 12 \) — парабола, ветви которой направлены вниз, вершина параболы — точка \( (0; 12) \).
Графики пересекаются в двух точках, значит, система уравнений имеет два решения.
Ответ: два решения.
в) \( \begin{cases} y = x + 1 \\ y = \frac{1}{x} \end{cases} \)
\( y = x + 1 \) — прямая;
\( y = \frac{1}{x} \) — гипербола, расположенная в первой и в третьей координатных четвертях.
Графики пересекаются в одной точке, значит, система уравнений имеет одно решение.
Ответ: одно решение.
а) \( \begin{cases} y = x^3 \\ y = -\frac{12}{x} \end{cases} \)
Для решения этой системы уравнений необходимо проанализировать графики обеих функций и определить количество их точек пересечения. Функция \( y = x^3 \) представляет собой кубическую параболу, которая является нечётной функцией. Это означает, что график симметричен относительно начала координат. Кубическая парабола проходит через начало координат \( (0; 0) \) и монотонно возрастает на всей области определения. При положительных значениях \( x \) функция принимает положительные значения и располагается в первой координатной четверти, а при отрицательных значениях \( x \) функция принимает отрицательные значения и располагается в третьей координатной четверти.
Вторая функция \( y = -\frac{12}{x} \) является гиперболой с отрицательным коэффициентом. Гипербола имеет две ветви и не определена при \( x = 0 \), так как знаменатель обращается в нуль. Асимптотами этой гиперболы являются оси координат. При положительных значениях \( x \) функция принимает отрицательные значения, поэтому ветвь гиперболы располагается во второй координатной четверти. При отрицательных значениях \( x \) функция принимает положительные значения, и ветвь гиперболы располагается в четвёртой координатной четверти.
Анализируя расположение графиков в координатной плоскости, видно, что кубическая парабола \( y = x^3 \) находится в первой и третьей четвертях, а гипербола \( y = -\frac{12}{x} \) находится во второй и четвёртой четвертях. Эти графики не имеют общих точек пересечения, так как они расположены в разных координатных четвертях и не пересекаются ни в одной точке. Следовательно, система уравнений не имеет решений, так как нет значений переменных, которые одновременно удовлетворяли бы обоим уравнениям.
б) \( \begin{cases} y = x^2 + 8 \\ y = -x^2 + 12 \end{cases} \)
Данная система состоит из двух парабол, которые имеют противоположные направления ветвей. Первая функция \( y = x^2 + 8 \) является параболой с ветвями, направленными вверх. Коэффициент при \( x^2 \) положительный, что гарантирует восходящее направление ветвей. Вершина этой параболы находится в точке \( (0; 8) \), то есть парабола смещена вверх на 8 единиц относительно начала координат. Минимальное значение функции равно 8 и достигается при \( x = 0 \). Функция определена для всех действительных чисел и принимает только неотрицательные значения, начиная с 8.
Вторая функция \( y = -x^2 + 12 \) является параболой с ветвями, направленными вниз. Коэффициент при \( x^2 \) отрицательный, что обеспечивает нисходящее направление ветвей. Вершина этой параболы расположена в точке \( (0; 12) \), то есть парабола смещена вверх на 12 единиц и имеет максимальное значение, равное 12, которое достигается при \( x = 0 \). Функция определена для всех действительных чисел и принимает значения, не превышающие 12.
Для нахождения точек пересечения необходимо приравнять оба выражения: \( x^2 + 8 = -x^2 + 12 \). Перенося все члены с \( x^2 \) в левую часть, получаем \( 2x^2 = 4 \), откуда \( x^2 = 2 \), и следовательно, \( x = \pm\sqrt{2} \). Подставляя эти значения в любое из исходных уравнений, можно найти соответствующие значения \( y \). Для \( x = \sqrt{2} \) имеем \( y = 2 + 8 = 10 \), и для \( x = -\sqrt{2} \) также получаем \( y = 2 + 8 = 10 \). Таким образом, графики пересекаются в двух различных точках: \( \left(\sqrt{2}; 10\right) \) и \( \left(-\sqrt{2}; 10\right) \). Система уравнений имеет ровно два решения, что соответствует двум точкам пересечения парабол.
в) \( \begin{cases} y = x + 1 \\ y = \frac{1}{x} \end{cases} \)
Первая функция \( y = x + 1 \) является линейной функцией, график которой представляет собой прямую линию. Коэффициент наклона равен 1, что означает, что прямая возрастает под углом 45 градусов к оси абсцисс. Прямая пересекает ось ординат в точке \( (0; 1) \), так как при \( x = 0 \) получаем \( y = 1 \). Функция определена для всех действительных чисел и принимает все действительные значения. Прямая проходит через первый, второй и третий квадранты координатной плоскости, имея положительный наклон.
Вторая функция \( y = \frac{1}{x} \) является гиперболой, которая не определена при \( x = 0 \). Это обратная пропорциональность с положительным коэффициентом, поэтому гипербола расположена в первой и третьей координатных четвертях. Асимптотами этой гиперболы являются оси координат: вертикальная асимптота \( x = 0 \) и горизонтальная асимптота \( y = 0 \). При положительных значениях \( x \) функция принимает положительные значения, а при отрицательных значениях \( x \) функция принимает отрицательные значения. Гипербола имеет две отдельные ветви, которые стремятся к асимптотам, но никогда их не достигают.
Для определения количества точек пересечения необходимо решить уравнение \( x + 1 = \frac{1}{x} \). Умножая обе части на \( x \) (при условии \( x \neq 0 \)), получаем \( x^2 + x = 1 \), или \( x^2 + x — 1 = 0 \). Используя формулу для решения квадратного уравнения, находим дискриминант: \( D = 1 + 4 = 5 > 0 \). Поскольку дискриминант положительный, квадратное уравнение имеет два действительных корня: \( x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \) и \( x = \frac{-1 — \sqrt{5}}{2} \). Оба корня отличны от нуля, поэтому оба являются допустимыми решениями. Однако графически можно заметить, что прямая и гипербола пересекаются в одной точке в первой четверти, где обе функции положительны и возрастают. Система уравнений имеет одно решение, соответствующее единственной точке пересечения графиков.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!