ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 699 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Решите графически систему уравнений:
\( \begin{cases} x^2 — 4 = 0, \\ y^2 — 9 = 0 \end{cases} \)

Решим систему уравнений:

\( \begin{cases} x^2 — 4 = 0 \\ y^2 — 9 = 0 \end{cases} \)

Из первого уравнения: \( x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2 \)

Из второго уравнения: \( y^2 = 9 \Rightarrow y = \pm 3 \)

Графики пересекаются в четырех точках:

\( (-2; -3), (-2; 3), (2; -3), (2; 3) \)

Ответ: \( (-2; -3); (-2; 3); (2; -3); (2; 3) \)

Нам требуется найти точки пересечения графиков двух уравнений: \( x^2 — 4 = 0 \) и \( y^2 — 9 = 0 \). Для этого необходимо решить каждое уравнение отдельно, найти все возможные значения переменных \( x \) и \( y \), а затем определить все комбинации этих значений, которые одновременно удовлетворяют обоим уравнениям.

Начнем с решения первого уравнения \( x^2 — 4 = 0 \). Это уравнение можно переписать как \( x^2 = 4 \). Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем \( x = \pm 2 \), то есть \( x = 2 \) или \( x = -2 \). Оба значения являются решениями первого уравнения, так как при подстановке \( 2^2 — 4 = 4 — 4 = 0 \) и \( (-2)^2 — 4 = 4 — 4 = 0 \). Таким образом, первое уравнение определяет две вертикальные линии на координатной плоскости: одна проходит через точку \( x = 2 \), другая через точку \( x = -2 \).

Теперь решаем второе уравнение \( y^2 — 9 = 0 \). Переписываем его как \( y^2 = 9 \). Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем \( y = \pm 3 \), то есть \( y = 3 \) или \( y = -3 \). Проверим: при подстановке \( 3^2 — 9 = 9 — 9 = 0 \) и \( (-3)^2 — 9 = 9 — 9 = 0 \). Второе уравнение определяет две горизонтальные линии на координатной плоскости: одна проходит через точку \( y = 3 \), другая через точку \( y = -3 \).

Точки пересечения графиков образуются в местах, где вертикальные линии пересекаются с горизонтальными линиями. Поскольку у нас есть две вертикальные линии (\( x = 2 \) и \( x = -2 \)) и две горизонтальные линии (\( y = 3 \) и \( y = -3 \)), то всего получается \( 2 \times 2 = 4 \) точки пересечения. Первая точка образуется при \( x = -2 \) и \( y = -3 \), что дает координаты \( (-2; -3) \). Вторая точка образуется при \( x = -2 \) и \( y = 3 \), что дает координаты \( (-2; 3) \). Третья точка образуется при \( x = 2 \) и \( y = -3 \), что дает координаты \( (2; -3) \). Четвертая точка образуется при \( x = 2 \) и \( y = 3 \), что дает координаты \( (2; 3) \).

Проверим каждую найденную точку, подставляя её координаты в оба исходных уравнения. Для точки \( (-2; -3) \): \( (-2)^2 — 4 = 4 — 4 = 0 \) ✓ и \( (-3)^2 — 9 = 9 — 9 = 0 \) ✓. Для точки \( (-2; 3) \): \( (-2)^2 — 4 = 4 — 4 = 0 \) ✓ и \( 3^2 — 9 = 9 — 9 = 0 \) ✓. Для точки \( (2; -3) \): \( 2^2 — 4 = 4 — 4 = 0 \) ✓ и \( (-3)^2 — 9 = 9 — 9 = 0 \) ✓. Для точки \( (2; 3) \): \( 2^2 — 4 = 4 — 4 = 0 \) ✓ и \( 3^2 — 9 = 9 — 9 = 0 \) ✓. Все четыре точки удовлетворяют обоим уравнениям системы.

Графики пересекаются в четырех точках: \( (-2; -3) \), \( (-2; 3) \), \( (2; -3) \), \( (2; 3) \). Эти точки расположены на пересечениях вертикальных линий \( x = \pm 2 \) и горизонтальных линий \( y = \pm 3 \), образуя прямоугольник на координатной плоскости. Координаты всех точек пересечения: \( (-2; -3); (-2; 3); (2; -3); (2; 3) \).