ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 70 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Представьте дробь \(\frac{5n^2 + 3n + 6}{n}\) в виде суммы двучлена и дроби. Выясните, при каких натуральных \(n\) данная дробь принимает натуральные значения.

\( \frac{5n^2 + 3n + 6}{n} = \frac{5n^2 + 3n}{n} + \frac{6}{n} = 5n + 3 + \frac{6}{n} \)

Дробь имеет натуральное значение, если \( \frac{6}{n} \) делится нацело, значит при \( n = 1; 2; 3; 6 \) будет натуральное значение.

Таким образом, выражение принимает натуральные значения при \( n \in \{1, 2, 3, 6\} \).

Рассмотрим выражение \( \frac{5n^2 + 3n + 6}{n} \). Для упрощения разделим числитель на знаменатель по частям. Можно представить числитель как сумму трёх членов: \( 5n^2 \), \( 3n \) и \( 6 \). Делим каждый из них на \( n \) отдельно, что даёт: \( \frac{5n^2}{n} + \frac{3n}{n} + \frac{6}{n} \). Первое слагаемое упростится до \( 5n \), так как степень \( n^2 \) при делении на \( n \) уменьшится на 1, второе слагаемое упростится до 3, а третье останется в виде дроби \( \frac{6}{n} \).

Таким образом, исходное выражение преобразуется к виду \( 5n + 3 + \frac{6}{n} \). Чтобы это выражение было натуральным числом, необходимо, чтобы дробь \( \frac{6}{n} \) была целым числом, то есть \( 6 \) должно делиться на \( n \) без остатка. Это условие определяет множество допустимых значений \( n \). Натуральные числа, которые делят 6 нацело, это делители числа 6.

Делителями числа 6 являются числа \( 1, 2, 3 \) и \( 6 \). Значит, при этих значениях \( n \) выражение \( 5n + 3 + \frac{6}{n} \) будет принимать натуральные значения. Для всех других натуральных значений \( n \), где \( n \) не является делителем 6, выражение не будет натуральным, так как дробь \( \frac{6}{n} \) не будет целым числом. Следовательно, ответом является множество \( n \in \{1, 2, 3, 6\} \).