ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 700 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Среди данных уравнений найдите уравнения параболы, гиперболы, прямой:

а) \( xy = -3 \)

б) \( 6y — 2 = 0 \)

в) \( \frac{1}{9}y — x^2 = -1 \)

г) \( 10 + 5xy = 0 \)

д) \( 1 + 2x = 0 \)

е) \( 2x — 2y = 5 \)

Постройте график каждого уравнения.

а) \( xy = -3 \Rightarrow y = -\frac{3}{x} \)

Гипербола, расположенная во второй и в четвертой координатных четвертях.

б) \( 6y — 2 = 0 \Rightarrow 6y = 2 \Rightarrow y = \frac{1}{3} \)

Прямая, параллельная оси \( x \) и проходящая через точку \( \frac{1}{3} \) по оси \( y \).

в) \( y = x^2 — 1 \Rightarrow y = x^2 — 4 \)

Парабола, ветви которой направлены вверх; вершина параболы — точка \( (0; -4) \).

г) \( 10 + 5xy = 0 \Rightarrow 5xy = -10 \Rightarrow y = -\frac{10}{5x} \Rightarrow y = -\frac{2}{x} \)

Гипербола, расположенная во второй и в четвертой координатных четвертях.

д) \( 1 + 2x = 0 \Rightarrow 2x = -1 \Rightarrow x = -0,5 \)

Прямая, параллельная оси \( y \) и проходящая через точку \( (-0,5) \) по оси \( x \).

е) \( 2x — 2y = 5 \Rightarrow 2y = 2x — 5 \Rightarrow y = x — 2,5 \)

Прямая, проходящая через точки \( (0; -2,5) \) и \( (2,5; 0) \).

а) \( xy = -3 \Rightarrow y = -\frac{3}{x} \)

Для решения этого уравнения необходимо выразить переменную \( y \) через переменную \( x \). Исходное уравнение \( xy = -3 \) представляет собой уравнение гиперболы. Разделив обе части уравнения на \( x \) (при условии \( x \neq 0 \)), получаем \( y = -\frac{3}{x} \). Это означает, что для каждого значения \( x \) существует соответствующее значение \( y \), которое вычисляется по данной формуле. Так как произведение \( xy = -3 \) отрицательно, переменные \( x \) и \( y \) всегда имеют противоположные знаки: когда \( x \) положительно, \( y \) отрицательно, и наоборот.

Гипербола, описываемая уравнением \( y = -\frac{3}{x} \), расположена во второй и в четвёртой координатных четвертях. Во второй четверти (где \( x < 0 \) и \( y > 0 \)) гипербола занимает верхнюю левую область, а в четвёртой четверти (где \( x > 0 \) и \( y < 0 \)) она занимает нижнюю правую область. Ветви гиперболы асимптотически приближаются к осям координат, но никогда их не пересекают, так как функция не определена при \( x = 0 \) и \( y \neq 0 \) при любом конечном значении \( x \).

Таблица значений показывает, как изменяется функция при различных значениях аргумента. При \( x = -6 \) получаем \( y = -\frac{3}{-6} = 0,5 \); при \( x = -3 \) имеем \( y = -\frac{3}{-3} = 1 \); при \( x = -1 \) получается \( y = -\frac{3}{-1} = 3 \); при \( x = -0,5 \) вычисляем \( y = -\frac{3}{-0,5} = 6 \). Для положительных значений аргумента: при \( x = 0,5 \) получаем \( y = -\frac{3}{0,5} = -6 \); при \( x = 1 \) имеем \( y = -\frac{3}{1} = -3 \); при \( x = 3 \) получается \( y = -\frac{3}{3} = -1 \); при \( x = 6 \) вычисляем \( y = -\frac{3}{6} = -0,5 \). Видно, что по мере приближения \( x \) к нулю слева (отрицательные значения), значения \( y \) увеличиваются, а по мере удаления от нуля влево, значения \( y \) уменьшаются. Аналогично, при положительных значениях \( x \) по мере приближения к нулю справа, значения \( y \) уменьшаются (становятся более отрицательными).

б) \( 6y — 2 = 0 \Rightarrow 6y = 2 \Rightarrow y = \frac{1}{3} \)

Данное уравнение является линейным уравнением с одной переменной. Для его решения необходимо изолировать переменную \( y \). Сначала переносим константу \( -2 \) в правую часть уравнения с противоположным знаком: \( 6y = 2 \). Затем делим обе части уравнения на коэффициент при \( y \), то есть на 6, получая \( y = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \). Полученное значение \( y = \frac{1}{3} \) является единственным решением этого уравнения.

Графически это уравнение представляет собой горизонтальную прямую, параллельную оси \( x \), которая пересекает ось \( y \) в точке с координатой \( \frac{1}{3} \). Все точки, лежащие на этой прямой, имеют одинаковую ординату \( y = \frac{1}{3} \), независимо от значения абсциссы \( x \). Такие прямые называются горизонтальными и имеют уравнение вида \( y = c \), где \( c \) — некоторая константа. В нашем случае \( c = \frac{1}{3} \). Прямая проходит через все точки вида \( (x; \frac{1}{3}) \), где \( x \) может принимать любое действительное значение.

в) \( y = x^2 — 4 \)

Данное уравнение описывает параболу, которая получается из стандартной параболы \( y = x^2 \) путём сдвига вниз на 4 единицы. Коэффициент при \( x^2 \) равен 1, что является положительным числом, поэтому ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в точке, где производная функции равна нулю. Для функции \( y = x^2 — 4 \) вершина расположена в точке \( (0; -4) \), так как при \( x = 0 \) получаем минимальное значение функции: \( y = 0^2 — 4 = -4 \).

Парабола симметрична относительно вертикальной прямой, проходящей через вершину, то есть относительно оси \( y \). Это означает, что для любого значения \( x \) значение функции при \( -x \) будет таким же: \( y(-x) = (-x)^2 — 4 = x^2 — 4 = y(x) \). Функция возрастает при \( x > 0 \) и убывает при \( x < 0 \). Минимальное значение функции равно \( -4 \) и достигается при \( x = 0 \). Функция не имеет максимального значения, так как при увеличении абсолютного значения \( x \) значение \( y \) неограниченно возрастает.

Таблица значений иллюстрирует поведение функции. При \( x = -2 \) вычисляем \( y = (-2)^2 — 4 = 4 — 4 = 0 \); при \( x = -1 \) получаем \( y = (-1)^2 — 4 = 1 — 4 = -3 \); при \( x = 0 \) имеем \( y = 0^2 — 4 = -4 \) (это вершина параболы); при \( x = 1 \) получается \( y = 1^2 — 4 = 1 — 4 = -3 \); при \( x = 2 \) вычисляем \( y = 2^2 — 4 = 4 — 4 = 0 \). Видно, что значения функции симметричны относительно оси \( y \): при \( x = -2 \) и \( x = 2 \) функция принимает одно и то же значение 0, а при \( x = -1 \) и \( x = 1 \) функция принимает одно и то же значение \( -3 \). Парабола пересекает ось \( x \) в двух точках: \( (-2; 0) \) и \( (2; 0) \), которые называются нулями функции или корнями уравнения \( x^2 — 4 = 0 \).

г) \( 10 + 5xy = 0 \Rightarrow 5xy = -10 \Rightarrow xy = -2 \Rightarrow y = -\frac{2}{x} \)

Исходное уравнение \( 10 + 5xy = 0 \) содержит произведение переменных \( x \) и \( y \). Для решения необходимо выразить одну переменную через другую. Сначала переносим константу 10 в правую часть: \( 5xy = -10 \). Затем делим обе части на 5, получая \( xy = -2 \). Наконец, разделив обе части на \( x \) (при условии \( x \neq 0 \)), получаем \( y = -\frac{2}{x} \). Это уравнение также описывает гиперболу, но с другим коэффициентом пропорциональности.

Гипербола \( y = -\frac{2}{x} \) расположена во второй и в четвёртой координатных четвертях, так же как и гипербола из пункта а), но с отличающимся коэффициентом. Во второй четверти (где \( x < 0 \) и \( y > 0 \)) гипербола занимает верхнюю левую область, а в четвёртой четверти (где \( x > 0 \) и \( y < 0 \)) она занимает нижнюю правую область. Ветви гиперболы асимптотически приближаются к осям координат. Чем больше абсолютное значение \( x \), тем ближе значение \( y \) к нулю, но никогда не достигает его.

Таблица значений показывает поведение функции при различных значениях аргумента. При \( x = -4 \) получаем \( y = -\frac{2}{-4} = 0,5 \); при \( x = -2 \) имеем \( y = -\frac{2}{-2} = 1 \); при \( x = -1 \) получается \( y = -\frac{2}{-1} = 2 \); при \( x = -0,5 \) вычисляем \( y = -\frac{2}{-0,5} = 4 \). Для положительных значений аргумента: при \( x = 0,5 \) получаем \( y = -\frac{2}{0,5} = -4 \); при \( x = 1 \) имеем \( y = -\frac{2}{1} = -2 \); при \( x = 2 \) получается \( y = -\frac{2}{2} = -1 \); при \( x = 4 \) вычисляем \( y = -\frac{2}{4} = -0,5 \). Сравнивая с гиперболой из пункта а), видно, что эта гипербола имеет более крутые ветви, так как коэффициент пропорциональности по абсолютному значению меньше (2 вместо 3).

д) \( 1 + 2x = 0 \Rightarrow 2x = -1 \Rightarrow x = -0,5 \)

Данное уравнение является линейным уравнением с одной переменной. Для его решения необходимо изолировать переменную \( x \). Сначала переносим константу 1 в правую часть уравнения с противоположным знаком: \( 2x = -1 \). Затем делим обе части уравнения на коэффициент при \( x \), то есть на 2, получая \( x = -\frac{1}{2} = -0,5 \). Полученное значение \( x = -0,5 \) является единственным решением этого уравнения.

Графически это уравнение представляет собой вертикальную прямую, параллельную оси \( y \), которая пересекает ось \( x \) в точке с координатой \( -0,5 \). Все точки, лежащие на этой прямой, имеют одинаковую абсциссу \( x = -0,5 \), независимо от значения ординаты \( y \). Такие прямые называются вертикальными и имеют уравнение вида \( x = c \), где \( c \) — некоторая константа. В нашем случае \( c = -0,5 \). Прямая проходит через все точки вида \( (-0,5; y) \), где \( y \) может принимать любое действительное значение. Эта прямая перпендикулярна оси \( x \) и параллельна оси \( y \).

е) \( 2x — 2y = 5 \Rightarrow 2y = 2x — 5 \Rightarrow y = x — 2,5 \)

Данное уравнение описывает прямую линию в координатной плоскости. Для приведения уравнения к стандартному виду необходимо выразить переменную \( y \) через переменную \( x \). Сначала переносим член \( 2x \) в правую часть: \( -2y = -2x + 5 \), или эквивалентно \( 2y = 2x — 5 \). Затем делим обе части на 2, получая \( y = x — 2,5 \). Это уравнение прямой имеет угловой коэффициент (наклон) \( k = 1 \) и свободный член (ординату точки пересечения с осью \( y \)) \( b = -2,5 \).

Угловой коэффициент \( k = 1 \) означает, что прямая наклонена под углом 45 градусов к оси \( x \), так как тангенс угла наклона равен 1. При увеличении значения \( x \) на 1 единицу значение \( y \) также увеличивается на 1 единицу. Свободный член \( b = -2,5 \) показывает, что прямая пересекает ось \( y \) в точке \( (0; -2,5) \). Для нахождения точки пересечения прямой с осью \( x \) (нуля функции) приравниваем \( y \) к нулю: \( 0 = x — 2,5 \), откуда \( x = 2,5 \). Таким образом, прямая пересекает ось \( x \) в точке \( (2,5; 0) \). Прямая проходит через обе эти характерные точки: \( (0; -2,5) \) и \( (2,5; 0) \), и продолжается бесконечно в обе стороны.