Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 702 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Решите способом подстановки систему уравнений:
а) \( \begin{cases} y^2 — x = -1, \\ x = y + 3; \end{cases} \)
б) \( \begin{cases} y = x — 1, \\ x^2 — 2y = 26; \end{cases} \)
в) \( \begin{cases} xy + x = -4, \\ x — y = 6; \end{cases} \)
г) \( \begin{cases} x + y = 9, \\ y^2 + x = 29. \end{cases} \)
а) \( \begin{cases} y^2 — x = -1 \\ x = y + 3 \end{cases} \)
Подставим \( x = y + 3 \) в первое уравнение системы:
\( y^2 — (y + 3) = -1 \)
\( y^2 — y — 3 + 1 = 0 \)
\( y^2 — y — 2 = 0 \)
\( y_1 + y_2 = 1, \quad y_1 y_2 = -2; \)
\( y_1 = -1, \quad y_2 = 2 \)
Если \( y = -1 \), то: \( x = y + 3 = -1 + 3 = 2 \)
Если \( y = 2 \), то: \( x = y + 3 = 2 + 3 = 5 \)
Ответ: \( (2; -1) \) и \( (5; 2) \)
б) \( \begin{cases} y = x — 1 \\ x^2 — 2y = 26 \end{cases} \)
Подставим \( y = x — 1 \) во второе уравнение системы:
\( x^2 — 2(x — 1) = 26 \)
\( x^2 — 2x + 2 — 26 = 0 \)
\( x^2 — 2x — 24 = 0 \)
\( x_1 + x_2 = 2, \quad x_1 x_2 = -24; \)
\( x_1 = -4, \quad x_2 = 6 \)
Если \( x = -4 \), то: \( y = x — 1 = -4 — 1 = -5 \)
Если \( x = 6 \), то: \( y = x — 1 = 6 — 1 = 5 \)
Ответ: \( (-4; -5) \) и \( (6; 5) \)
в) \( \begin{cases} xy + x = -4 \\ x — y = 6 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} xy + x = -4 \\ x = y + 6 \end{cases} \)
Подставим \( x = y + 6 \) в первое уравнение системы:
\( (y + 6)y + (y + 6) = -4 \)
\( y^2 + 6y + y + 6 + 4 = 0 \)
\( y^2 + 7y + 10 = 0 \)
\( y_1 + y_2 = -7, \quad y_1 y_2 = 10; \)
\( y_1 = -5, \quad y_2 = -2 \)
Если \( y = -5 \), то: \( x = y + 6 = -5 + 6 = 1 \)
Если \( y = -2 \), то: \( x = y + 6 = -2 + 6 = 4 \)
Ответ: \( (1; -5) \) и \( (4; -2) \)
г) \( \begin{cases} x + y = 9 \\ y^2 + x = 29 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 9 — y \\ y^2 + x = 29 \end{cases} \)
Подставим \( x = 9 — y \) во второе уравнение системы:
\( y^2 + (9 — y) = 29 \)
\( y^2 — y + 9 — 29 = 0 \)
\( y^2 — y — 20 = 0 \)
\( y_1 + y_2 = 1, \quad y_1 y_2 = -20; \)
\( y_1 = -4, \quad y_2 = 5 \)
Если \( y = -4 \), то: \( x = 9 — y = 9 — (-4) = 9 + 4 = 13 \)
Если \( y = 5 \), то: \( x = 9 — y = 9 — 5 = 4 \)
Ответ: \( (13; -4) \) и \( (4; 5) \)
а) \( \begin{cases} y^2 — x = -1 \\ x = y + 3 \end{cases} \)
Для решения этой системы используем метод подстановки. Из второго уравнения уже выражена переменная \( x \) через \( y \), поэтому подставляем \( x = y + 3 \) в первое уравнение. Это позволит нам получить уравнение с одной переменной, которое легче решить. Подставляя, получаем \( y^2 — (y + 3) = -1 \). Раскрываем скобки и упрощаем: \( y^2 — y — 3 = -1 \), откуда \( y^2 — y — 3 + 1 = 0 \), то есть \( y^2 — y — 2 = 0 \).
Решаем полученное квадратное уравнение \( y^2 — y — 2 = 0 \) по теореме Виета. Сумма корней равна коэффициенту при \( y \) с противоположным знаком: \( y_1 + y_2 = 1 \). Произведение корней равно свободному члену: \( y_1 y_2 = -2 \). Подбирая числа, находим \( y_1 = -1 \) и \( y_2 = 2 \). Проверим: \( (-1) + 2 = 1 \) верно, и \( (-1) \cdot 2 = -2 \) верно.
Теперь для каждого значения \( y \) найдем соответствующее значение \( x \) из уравнения \( x = y + 3 \). Если \( y = -1 \), то \( x = -1 + 3 = 2 \). Если \( y = 2 \), то \( x = 2 + 3 = 5 \). Таким образом, получаем две пары решений: \( (2; -1) \) и \( (5; 2) \).
б) \( \begin{cases} y = x — 1 \\ x^2 — 2y = 26 \end{cases} \)
Применяем метод подстановки, так как в первом уравнении \( y \) уже выражена через \( x \). Подставляем \( y = x — 1 \) во второе уравнение системы: \( x^2 — 2(x — 1) = 26 \). Раскрываем скобки: \( x^2 — 2x + 2 = 26 \). Переносим все в левую часть: \( x^2 — 2x + 2 — 26 = 0 \), откуда \( x^2 — 2x — 24 = 0 \).
Решаем квадратное уравнение \( x^2 — 2x — 24 = 0 \) по теореме Виета. Сумма корней: \( x_1 + x_2 = 2 \). Произведение корней: \( x_1 x_2 = -24 \). Подбираем числа, которые в сумме дают 2, а в произведении дают \( -24 \). Это числа 6 и \( -4 \), так как \( 6 + (-4) = 2 \) и \( 6 \cdot (-4) = -24 \). Следовательно, \( x_1 = -4 \) и \( x_2 = 6 \).
Для каждого найденного значения \( x \) вычисляем \( y \) из первого уравнения \( y = x — 1 \). Если \( x = -4 \), то \( y = -4 — 1 = -5 \). Если \( x = 6 \), то \( y = 6 — 1 = 5 \). Получаем две пары решений: \( (-4; -5) \) и \( (6; 5) \). Проверим первую пару: \( y = x — 1 \Rightarrow -5 = -4 — 1 \) верно, и \( x^2 — 2y = 16 — 2(-5) = 16 + 10 = 26 \) верно.
в) \( \begin{cases} xy + x = -4 \\ x — y = 6 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} xy + x = -4 \\ x = y + 6 \end{cases} \)
Из второго уравнения системы выражаем \( x \) через \( y \): \( x = y + 6 \). Это преобразование позволяет нам подставить полученное выражение в первое уравнение. Подставляем \( x = y + 6 \) в первое уравнение: \( (y + 6)y + (y + 6) = -4 \). Раскрываем скобки: \( y^2 + 6y + y + 6 = -4 \). Приводим подобные члены: \( y^2 + 7y + 6 = -4 \). Переносим все в левую часть: \( y^2 + 7y + 6 + 4 = 0 \), откуда \( y^2 + 7y + 10 = 0 \).
Решаем квадратное уравнение \( y^2 + 7y + 10 = 0 \) по теореме Виета. Сумма корней: \( y_1 + y_2 = -7 \). Произведение корней: \( y_1 y_2 = 10 \). Ищем два числа, которые в сумме дают \( -7 \), а в произведении дают 10. Это числа \( -5 \) и \( -2 \), так как \( (-5) + (-2) = -7 \) и \( (-5) \cdot (-2) = 10 \). Следовательно, \( y_1 = -5 \) и \( y_2 = -2 \).
Для каждого найденного значения \( y \) вычисляем \( x \) из уравнения \( x = y + 6 \). Если \( y = -5 \), то \( x = -5 + 6 = 1 \). Если \( y = -2 \), то \( x = -2 + 6 = 4 \). Получаем две пары решений: \( (1; -5) \) и \( (4; -2) \). Проверим первую пару: \( xy + x = 1 \cdot (-5) + 1 = -5 + 1 = -4 \) верно, и \( x — y = 1 — (-5) = 1 + 5 = 6 \) верно.
г) \( \begin{cases} x + y = 9 \\ y^2 + x = 29 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 9 — y \\ y^2 + x = 29 \end{cases} \)
Из первого уравнения системы выражаем \( x \) через \( y \): \( x = 9 — y \). Это преобразование необходимо для применения метода подстановки. Подставляем \( x = 9 — y \) во второе уравнение: \( y^2 + (9 — y) = 29 \). Раскрываем скобки и упрощаем: \( y^2 + 9 — y = 29 \). Переносим все в левую часть: \( y^2 — y + 9 — 29 = 0 \), откуда \( y^2 — y — 20 = 0 \).
Решаем квадратное уравнение \( y^2 — y — 20 = 0 \) по теореме Виета. Сумма корней: \( y_1 + y_2 = 1 \). Произведение корней: \( y_1 y_2 = -20 \). Ищем два числа, которые в сумме дают 1, а в произведении дают \( -20 \). Это числа 5 и \( -4 \), так как \( 5 + (-4) = 1 \) и \( 5 \cdot (-4) = -20 \). Следовательно, \( y_1 = -4 \) и \( y_2 = 5 \).
Для каждого найденного значения \( y \) вычисляем \( x \) из уравнения \( x = 9 — y \). Если \( y = -4 \), то \( x = 9 — (-4) = 9 + 4 = 13 \). Если \( y = 5 \), то \( x = 9 — 5 = 4 \). Получаем две пары решений: \( (13; -4) \) и \( (4; 5) \). Проверим первую пару: \( x + y = 13 + (-4) = 9 \) верно, и \( y^2 + x = (-4)^2 + 13 = 16 + 13 = 29 \) верно.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!