ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 703 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Решите систему уравнений, используя способ подстановки:

а) \( \begin{cases} x = 3 — y, \\ y^2 — x = 39; \end{cases} \)

б) \( \begin{cases} y = 1 + x, \\ x + y^2 = -1; \end{cases} \)

в) \( \begin{cases} x^2 + y = 14, \\ y — x = 8; \end{cases} \)

г) \( \begin{cases} x + y = 4, \\ y + xy = 6. \end{cases} \)

а) \( \begin{cases} x = 3 — y \\ y^2 — x = 39 \end{cases} \)

Подставим \( x = 3 — y \) во второе уравнение системы: \( y^2 — (3 — y) = 39 \) \( y^2 + y — 3 — 39 = 0 \) \( y^2 + y — 42 = 0 \).

\( y_1 + y_2 = -1 \), \( y_1 y_2 = -42 \);

\( y_1 = -7 \), \( y_2 = 6 \).

Если \( y = -7 \), то: \( x = 3 — y = 3 — (-7) = 3 + 7 = 10 \).

Если \( y = 6 \), то: \( x = 3 — y = 3 — 6 = -3 \).

Ответ: \( (10; -7) \) и \( (-3; 6) \).

б) \( \begin{cases} y = 1 + x \\ x + y^2 = -1 \end{cases} \)

Подставим \( y = 1 + x \) во второе уравнение системы: \( x + (1 + x)^2 = -1 \) \( x + 1 + 2x + x^2 + 1 = 0 \) \( x^2 + 3x + 2 = 0 \).

\( x_1 + x_2 = -3 \), \( x_1 x_2 = 2 \);

\( x_1 = -2 \), \( x_2 = -1 \).

Если \( x = -2 \), то: \( y = 1 + x = 1 + (-2) = -1 \).

Если \( x = -1 \), то: \( y = 1 + x = 1 + (-1) = 0 \).

Ответ: \( (-2; -1) \) и \( (-1; 0) \).

в) \( \begin{cases} x^2 + y = 14 \\ y — x = 8 \end{cases} \) \( \Rightarrow \) \( \begin{cases} x^2 + y = 14 \\ y = x + 8 \end{cases} \)

Подставим \( y = x + 8 \) в первое уравнение системы: \( x^2 + (x + 8) = 14 \) \( x^2 + x + 8 — 14 = 0 \) \( x^2 + x — 6 = 0 \).

\( x_1 + x_2 = -1 \), \( x_1 x_2 = -6 \);

\( x_1 = -3 \), \( x_2 = 2 \).

Если \( x = -3 \), то: \( y = x + 8 = -3 + 8 = 5 \).

Если \( x = 2 \), то: \( y = x + 8 = 2 + 8 = 10 \).

Ответ: \( (-3; 5) \) и \( (2; 10) \).

г) \( \begin{cases} x + y = 4 \\ y + xy = 6 \end{cases} \) \( \Rightarrow \) \( \begin{cases} x = 4 — y \\ y + xy = 6 \end{cases} \)

Подставим \( x = 4 — y \) во второе уравнение системы: \( y + (4 — y)y = 6 \) \( y + 4y — y^2 — 6 = 0 \) \( -y^2 + 5y — 6 = 0 \) \( y^2 — 5y + 6 = 0 \).

\( y_1 + y_2 = 5 \), \( y_1 y_2 = 6 \);

\( y_1 = 2 \), \( y_2 = 3 \).

Если \( y = 2 \), то: \( x = 4 — y = 4 — 2 = 2 \).

Если \( y = 3 \), то: \( x = 4 — y = 4 — 3 = 1 \).

Ответ: \( (2; 2) \) и \( (1; 3) \).

а) \( \begin{cases} x = 3 — y \\ y^2 — x = 39 \end{cases} \)

Для решения этой системы используем метод подстановки. Из первого уравнения уже выражена переменная \( x \) через \( y \), поэтому подставляем \( x = 3 — y \) во второе уравнение системы. Получаем \( y^2 — (3 — y) = 39 \). Раскрываем скобки, учитывая знак минуса перед ними: \( y^2 — 3 + y = 39 \). Переносим все члены в левую часть: \( y^2 + y — 3 — 39 = 0 \), что дает нам \( y^2 + y — 42 = 0 \).

Решаем полученное квадратное уравнение по теореме Виета. Сумма корней равна \( y_1 + y_2 = -1 \), а произведение корней равно \( y_1 y_2 = -42 \). Подбираем два числа, которые при сложении дают \( -1 \), а при умножении дают \( -42 \). Это числа \( -7 \) и \( 6 \), так как \( -7 + 6 = -1 \) и \( -7 \cdot 6 = -42 \). Следовательно, \( y_1 = -7 \) и \( y_2 = 6 \).

Теперь для каждого найденного значения \( y \) вычисляем соответствующее значение \( x \) по формуле \( x = 3 — y \). Если \( y = -7 \), то \( x = 3 — (-7) = 3 + 7 = 10 \). Если \( y = 6 \), то \( x = 3 — 6 = -3 \). Таким образом, получаем две пары решений: первая пара \( (10; -7) \) и вторая пара \( (-3; 6) \).

б) \( \begin{cases} y = 1 + x \\ x + y^2 = -1 \end{cases} \)

Применяем метод подстановки, так как в первом уравнении уже выражена переменная \( y \) через \( x \). Подставляем \( y = 1 + x \) во второе уравнение системы: \( x + (1 + x)^2 = -1 \). Раскрываем скобки по формуле квадрата суммы: \( (1 + x)^2 = 1 + 2x + x^2 \). Получаем \( x + 1 + 2x + x^2 = -1 \). Приводим подобные члены: \( x^2 + 3x + 1 = -1 \). Переносим \( -1 \) в левую часть: \( x^2 + 3x + 1 + 1 = 0 \), откуда \( x^2 + 3x + 2 = 0 \).

Решаем квадратное уравнение \( x^2 + 3x + 2 = 0 \) по теореме Виета. Сумма корней равна \( x_1 + x_2 = -3 \), произведение корней равно \( x_1 x_2 = 2 \). Нужно найти два числа, которые при сложении дают \( -3 \), а при умножении дают \( 2 \). Это числа \( -2 \) и \( -1 \), так как \( -2 + (-1) = -3 \) и \( (-2) \cdot (-1) = 2 \). Следовательно, \( x_1 = -2 \) и \( x_2 = -1 \).

Для каждого найденного значения \( x \) вычисляем соответствующее значение \( y \) по формуле \( y = 1 + x \). Если \( x = -2 \), то \( y = 1 + (-2) = -1 \). Если \( x = -1 \), то \( y = 1 + (-1) = 0 \). Получаем две пары решений: \( (-2; -1) \) и \( (-1; 0) \).

в) \( \begin{cases} x^2 + y = 14 \\ y — x = 8 \end{cases} \) \( \Rightarrow \) \( \begin{cases} x^2 + y = 14 \\ y = x + 8 \end{cases} \)

Из второго уравнения выражаем \( y \) через \( x \): \( y = x + 8 \). Это преобразование позволяет нам применить метод подстановки. Подставляем полученное выражение в первое уравнение системы: \( x^2 + (x + 8) = 14 \). Раскрываем скобки: \( x^2 + x + 8 = 14 \). Переносим все члены в левую часть: \( x^2 + x + 8 — 14 = 0 \), что упрощается до \( x^2 + x — 6 = 0 \).

Решаем квадратное уравнение \( x^2 + x — 6 = 0 \) по теореме Виета. Сумма корней равна \( x_1 + x_2 = -1 \), произведение корней равно \( x_1 x_2 = -6 \). Ищем два числа, которые при сложении дают \( -1 \), а при умножении дают \( -6 \). Это числа \( -3 \) и \( 2 \), так как \( -3 + 2 = -1 \) и \( (-3) \cdot 2 = -6 \). Следовательно, \( x_1 = -3 \) и \( x_2 = 2 \).

Для каждого найденного значения \( x \) вычисляем соответствующее значение \( y \) по формуле \( y = x + 8 \). Если \( x = -3 \), то \( y = -3 + 8 = 5 \). Если \( x = 2 \), то \( y = 2 + 8 = 10 \). Таким образом, получаем две пары решений: \( (-3; 5) \) и \( (2; 10) \).

г) \( \begin{cases} x + y = 4 \\ y + xy = 6 \end{cases} \) \( \Rightarrow \) \( \begin{cases} x = 4 — y \\ y + xy = 6 \end{cases} \)

Из первого уравнения выражаем \( x \) через \( y \): \( x = 4 — y \). Подставляем это выражение во второе уравнение системы: \( y + (4 — y)y = 6 \). Раскрываем скобки, умножая \( y \) на каждый член в скобках: \( y + 4y — y^2 = 6 \). Приводим подобные члены: \( 5y — y^2 = 6 \). Переносим все в левую часть: \( -y^2 + 5y — 6 = 0 \). Умножаем обе части на \( -1 \) для удобства: \( y^2 — 5y + 6 = 0 \).

Решаем квадратное уравнение \( y^2 — 5y + 6 = 0 \) по теореме Виета. Сумма корней равна \( y_1 + y_2 = 5 \), произведение корней равно \( y_1 y_2 = 6 \). Ищем два числа, которые при сложении дают \( 5 \), а при умножении дают \( 6 \). Это числа \( 2 \) и \( 3 \), так как \( 2 + 3 = 5 \) и \( 2 \cdot 3 = 6 \). Следовательно, \( y_1 = 2 \) и \( y_2 = 3 \).

Для каждого найденного значения \( y \) вычисляем соответствующее значение \( x \) по формуле \( x = 4 — y \). Если \( y = 2 \), то \( x = 4 — 2 = 2 \). Если \( y = 3 \), то \( x = 4 — 3 = 1 \). Получаем две пары решений: \( (2; 2) \) и \( (1; 3) \).