Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 704 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Решите систему уравнений:
а) \( \begin{cases} x — y = 3, \\ xy = -2; \end{cases} \)
б) \( \begin{cases} x + y = 2,5, \\ xy = 1,5; \end{cases} \)
в) \( \begin{cases} x + y = -1, \\ x^2 + y^2 = 1; \end{cases} \)
г) \( \begin{cases} x — y = 2, \\ x^2 — y^2 = 17. \end{cases} \)
а) \( \begin{cases} x — y = 3 \\ xy = -2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = y + 3 \\ xy = -2 \end{cases} \)
Подставим \( x = y + 3 \) во второе уравнение системы:
\( (y + 3)y = -2 \)
\( y^2 + 3y + 2 = 0 \)
\( y_1 + y_2 = -3, \quad y_1 y_2 = 2; \)
\( y_1 = -2, \quad y_2 = -1. \)
Если \( y = -2 \), то: \( x = y + 3 = -2 + 3 = 1. \)
Если \( y = -1 \), то: \( x = y + 3 = -1 + 3 = 2. \)
Ответ: \( (1; -2) \) и \( (2; -1). \)
б) \( \begin{cases} x + y = 2,5 \\ xy = 1,5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 2,5 — y \\ xy = 1,5 \end{cases} \)
Подставим \( x = 2,5 — y \) во второе уравнение системы:
\( (2,5 — y)y = 1,5 \)
\( 2,5y — y^2 — 1,5 = 0 \)
\( y^2 — 2,5y + 1,5 = 0. \)
\( y_1 + y_2 = 2,5, \quad y_1 y_2 = 1,5; \)
\( y_1 = 1, \quad y_2 = 1,5. \)
Если \( y = 1 \), то: \( x = 2,5 — y = 2,5 — 1 = 1,5. \)
Если \( y = 1,5 \), то: \( x = 2,5 — y = 2,5 — 1,5 = 1. \)
Ответ: \( (1,5; 1) \) и \( (1; 1,5). \)
в) \( \begin{cases} x + y = -1 \\ x^2 + y^2 = 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = -y — 1 \\ x^2 + y^2 = 1 \end{cases} \)
Подставим \( x = -y — 1 \) во второе уравнение системы:
\( (-y — 1)^2 + y^2 = 1 \)
\( y^2 + 2y + 1 + y^2 — 1 = 0 \)
\( 2y^2 + 2y = 0 \)
\( 2y(y + 1) = 0 \)
\( y = 0 \) или \( y = -1. \)
Если \( y = -1 \), то: \( x = -y — 1 = -(-1) — 1 = 1 — 1 = 0. \)
Если \( y = 0 \), то: \( x = -y — 1 = 0 — 1 = -1. \)
Ответ: \( (0; -1) \) и \( (-1; 0). \)
г) \( \begin{cases} x — y = 2 \\ x^2 — y^2 = 17 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = y + 2 \\ x^2 — y^2 = 17 \end{cases} \)
Подставим \( x = y + 2 \) во второе уравнение системы:
\( (y + 2)^2 — y^2 = 17 \)
\( y^2 + 4y + 4 — y^2 — 17 = 0 \)
\( 4y — 13 = 0 \)
\( 4y = 13 \)
\( y = \frac{13}{4} = 3,25. \)
Если \( y = 3,25 \), то: \( x = y + 2 = 3,25 + 2 = 5,25. \)
Ответ: \( (5,25; 3,25). \)
а) \( \begin{cases} x — y = 3 \\ xy = -2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = y + 3 \\ xy = -2 \end{cases} \)
Из первого уравнения системы выражаем переменную \( x \) через \( y \): \( x = y + 3 \). Это позволяет нам подставить данное выражение во второе уравнение и получить уравнение с одной неизвестной. Подставляем \( x = y + 3 \) в уравнение \( xy = -2 \):
\( (y + 3)y = -2 \)
\( y^2 + 3y = -2 \)
\( y^2 + 3y + 2 = 0 \)
Получилось квадратное уравнение. Используя теорему Виета, находим, что сумма корней равна \( y_1 + y_2 = -3 \), а произведение корней равно \( y_1 y_2 = 2 \). Подбирая числа, получаем \( y_1 = -2 \) и \( y_2 = -1 \). Проверим: \( -2 + (-1) = -3 \) и \( (-2) \cdot (-1) = 2 \) — верно.
Теперь для каждого найденного значения \( y \) вычисляем соответствующее значение \( x \). Если \( y = -2 \), то \( x = y + 3 = -2 + 3 = 1 \). Проверим решение: \( 1 — (-2) = 3 \) ✓ и \( 1 \cdot (-2) = -2 \) ✓. Если \( y = -1 \), то \( x = y + 3 = -1 + 3 = 2 \). Проверим: \( 2 — (-1) = 3 \) ✓ и \( 2 \cdot (-1) = -2 \) ✓. Таким образом, система имеет два решения: \( (1; -2) \) и \( (2; -1) \).
б) \( \begin{cases} x + y = 2,5 \\ xy = 1,5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 2,5 — y \\ xy = 1,5 \end{cases} \)
Из первого уравнения системы выражаем \( x \) через \( y \): \( x = 2,5 — y \). Это выражение подставляем во второе уравнение \( xy = 1,5 \), чтобы получить уравнение только с переменной \( y \):
\( (2,5 — y)y = 1,5 \)
\( 2,5y — y^2 = 1,5 \)
\( -y^2 + 2,5y — 1,5 = 0 \)
Умножаем обе части на \( -1 \) для удобства:
\( y^2 — 2,5y + 1,5 = 0 \)
Применяем теорему Виета: сумма корней \( y_1 + y_2 = 2,5 \), произведение корней \( y_1 y_2 = 1,5 \). Подбирая значения, находим \( y_1 = 1 \) и \( y_2 = 1,5 \). Проверка: \( 1 + 1,5 = 2,5 \) ✓ и \( 1 \cdot 1,5 = 1,5 \) ✓.
Для каждого значения \( y \) находим соответствующее \( x \). Если \( y = 1 \), то \( x = 2,5 — 1 = 1,5 \). Проверим: \( 1,5 + 1 = 2,5 \) ✓ и \( 1,5 \cdot 1 = 1,5 \) ✓. Если \( y = 1,5 \), то \( x = 2,5 — 1,5 = 1 \). Проверим: \( 1 + 1,5 = 2,5 \) ✓ и \( 1 \cdot 1,5 = 1,5 \) ✓. Решениями системы являются пары \( (1,5; 1) \) и \( (1; 1,5) \).
в) \( \begin{cases} x + y = -1 \\ x^2 + y^2 = 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = -y — 1 \\ x^2 + y^2 = 1 \end{cases} \)
Из первого уравнения выражаем \( x \): \( x = -y — 1 \). Подставляем это выражение во второе уравнение системы:
\( (-y — 1)^2 + y^2 = 1 \)
Раскрываем скобки, используя формулу квадрата суммы \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \):
\( y^2 + 2y + 1 + y^2 = 1 \)
\( 2y^2 + 2y + 1 = 1 \)
\( 2y^2 + 2y = 0 \)
Выносим общий множитель \( 2y \):
\( 2y(y + 1) = 0 \)
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем \( y = 0 \) или \( y = -1 \).
Если \( y = -1 \), то \( x = -(-1) — 1 = 1 — 1 = 0 \). Проверим: \( 0 + (-1) = -1 \) ✓ и \( 0^2 + (-1)^2 = 0 + 1 = 1 \) ✓. Если \( y = 0 \), то \( x = -0 — 1 = -1 \). Проверим: \( -1 + 0 = -1 \) ✓ и \( (-1)^2 + 0^2 = 1 + 0 = 1 \) ✓. Система имеет два решения: \( (0; -1) \) и \( (-1; 0) \).
г) \( \begin{cases} x — y = 2 \\ x^2 — y^2 = 17 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = y + 2 \\ x^2 — y^2 = 17 \end{cases} \)
Из первого уравнения выражаем \( x = y + 2 \). Заметим, что второе уравнение можно разложить, используя формулу разности квадратов: \( x^2 — y^2 = (x — y)(x + y) \). Подставляем \( x = y + 2 \) во второе уравнение:
\( (y + 2)^2 — y^2 = 17 \)
Раскрываем скобки:
\( y^2 + 4y + 4 — y^2 = 17 \)
\( 4y + 4 = 17 \)
\( 4y = 13 \)
\( y = \frac{13}{4} = 3,25 \)
Получили одно значение для \( y \), поскольку после подстановки и упрощения квадратные члены сократились, и мы получили линейное уравнение. Теперь находим \( x \): если \( y = 3,25 \), то \( x = y + 2 = 3,25 + 2 = 5,25 \). Проверим решение: \( 5,25 — 3,25 = 2 \) ✓ и \( (5,25)^2 — (3,25)^2 = 27,5625 — 10,5625 = 17 \) ✓. Система имеет единственное решение: \( (5,25; 3,25) \).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!