Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 705 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Решите систему уравнений:
а) \( \begin{cases} x + y = 8, \\ xy = -20; \end{cases} \)
б) \( \begin{cases} x — y = 0,8, \\ xy = 2,4; \end{cases} \)
в) \( \begin{cases} x^2 — y^2 = 8, \\ x — y = 4; \end{cases} \)
г) \( \begin{cases} x^2 + y^2 = 5, \\ x + y = -3. \end{cases} \)
а) \( \begin{cases} x + y = 8 \\ xy = -20 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 8 — y \\ xy = -20 \end{cases} \)
Подставим \( x = 8 — y \) во второе уравнение системы:
\( (8 — y)y = -20 \)
\( 8y — y^2 + 20 = 0 \)
\( y^2 — 8y — 20 = 0 \)
\( y_1 + y_2 = 8, \quad y_1y_2 = -20; \)
\( y_1 = -2, \quad y_2 = 10. \)
Если \( y = -2 \), то: \( x = 8 — y = 8 — (-2) = 8 + 2 = 10. \)
Если \( y = 10 \), то: \( x = 8 — y = 8 — 10 = -2. \)
Ответ: \( (10; -2) \) и \( (-2; 10). \)
б) \( \begin{cases} x — y = 0,8 \\ xy = 2,4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = y + 0,8 \\ xy = 2,4 \end{cases} \)
Подставим \( x = y + 0,8 \) во второе уравнение системы:
\( (y + 0,8)y = 2,4 \)
\( y^2 + 0,8y — 2,4 = 0 \)
\( y_1 + y_2 = -0,8, \quad y_1y_2 = -2,4; \)
\( y_1 = -2, \quad y_2 = 1,2. \)
Если \( y = -2 \), то: \( x = y + 0,8 = -2 + 0,8 = -1,2. \)
Если \( y = 1,2 \), то: \( x = y + 0,8 = 1,2 + 0,8 = 2. \)
Ответ: \( (-1,2; -2) \) и \( (2; 1,2). \)
в) \( \begin{cases} x^2 — y^2 = 8 \\ x — y = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^2 — y^2 = 8 \\ x = y + 4 \end{cases} \)
Подставим \( x = y + 4 \) в первое уравнение системы:
\( (y + 4)^2 — y^2 = 8 \)
\( y^2 + 8y + 16 — y^2 — 8 = 0 \)
\( 8y + 8 = 0 \)
\( 8y = -8 \)
\( y = -1. \)
Если \( y = -1 \), то: \( x = y + 4 = -1 + 4 = 3. \)
Ответ: \( (3; -1). \)
г) \( \begin{cases} x^2 + y^2 = 5 \\ x + y = -3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^2 + y^2 = 5 \\ x = -y — 3 \end{cases} \)
Подставим \( x = -y — 3 \) в первое уравнение системы:
\( (-y — 3)^2 + y^2 = 5 \)
\( y^2 + 6y + 9 + y^2 — 5 = 0 \)
\( 2y^2 + 6y + 4 = 0 \quad | : 2 \)
\( y^2 + 3y + 2 = 0 \)
\( y_1 + y_2 = -3, \quad y_1y_2 = 2; \)
\( y_1 = -2, \quad y_2 = -1. \)
Если \( y = -2 \), то: \( x = -y — 3 = -(-2) — 3 = 2 — 3 = -1. \)
Если \( y = -1 \), то: \( x = -y — 3 = -(-1) — 3 = 1 — 3 = -2. \)
Ответ: \( (-1; -2) \) и \( (-2; -1). \)
а) \( \begin{cases} x + y = 8 \\ xy = -20 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 8 — y \\ xy = -20 \end{cases} \)
Для решения этой системы применяем метод подстановки. Из первого уравнения выражаем переменную \( x \) через \( y \): \( x = 8 — y \). Это выражение подставляем во второе уравнение системы, получая уравнение с одной переменной. Подставим \( x = 8 — y \) во второе уравнение:
\( (8 — y)y = -20 \)
\( 8y — y^2 = -20 \)
\( 8y — y^2 + 20 = 0 \)
\( -y^2 + 8y + 20 = 0 \)
Умножим обе части уравнения на \( -1 \) для удобства:
\( y^2 — 8y — 20 = 0 \)
Для решения квадратного уравнения используем теорему Виета. По этой теореме сумма корней равна коэффициенту при \( y \) с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Таким образом, \( y_1 + y_2 = 8 \) и \( y_1 \cdot y_2 = -20 \). Подбирая целые числа, находим, что \( y_1 = -2 \) и \( y_2 = 10 \), так как их сумма равна \( -2 + 10 = 8 \), а произведение равно \( -2 \cdot 10 = -20 \).
Теперь для каждого найденного значения \( y \) находим соответствующее значение \( x \) из выражения \( x = 8 — y \). Если \( y = -2 \), то \( x = 8 — (-2) = 8 + 2 = 10 \). Проверим: \( x + y = 10 + (-2) = 8 \) ✓ и \( xy = 10 \cdot (-2) = -20 \) ✓. Если \( y = 10 \), то \( x = 8 — 10 = -2 \). Проверим: \( x + y = -2 + 10 = 8 \) ✓ и \( xy = (-2) \cdot 10 = -20 \) ✓.
Таким образом, система имеет два решения: \( (10; -2) \) и \( (-2; 10) \).
б) \( \begin{cases} x — y = 0,8 \\ xy = 2,4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = y + 0,8 \\ xy = 2,4 \end{cases} \)
Применяем метод подстановки. Из первого уравнения выражаем \( x \) через \( y \): \( x = y + 0,8 \). Это означает, что переменная \( x \) на \( 0,8 \) больше переменной \( y \). Подставляем это выражение во второе уравнение системы:
\( (y + 0,8)y = 2,4 \)
\( y^2 + 0,8y = 2,4 \)
\( y^2 + 0,8y — 2,4 = 0 \)
Решаем полученное квадратное уравнение, используя теорему Виета. Сумма корней: \( y_1 + y_2 = -0,8 \), произведение корней: \( y_1 \cdot y_2 = -2,4 \). Подбирая значения, находим \( y_1 = -2 \) и \( y_2 = 1,2 \), так как \( -2 + 1,2 = -0,8 \) и \( (-2) \cdot 1,2 = -2,4 \).
Для каждого найденного значения \( y \) вычисляем соответствующее значение \( x \) из выражения \( x = y + 0,8 \). Если \( y = -2 \), то \( x = -2 + 0,8 = -1,2 \). Проверим: \( x — y = -1,2 — (-2) = -1,2 + 2 = 0,8 \) ✓ и \( xy = (-1,2) \cdot (-2) = 2,4 \) ✓. Если \( y = 1,2 \), то \( x = 1,2 + 0,8 = 2 \). Проверим: \( x — y = 2 — 1,2 = 0,8 \) ✓ и \( xy = 2 \cdot 1,2 = 2,4 \) ✓.
Система имеет два решения: \( (-1,2; -2) \) и \( (2; 1,2) \).
в) \( \begin{cases} x^2 — y^2 = 8 \\ x — y = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^2 — y^2 = 8 \\ x = y + 4 \end{cases} \)
Из второго уравнения выражаем \( x \) через \( y \): \( x = y + 4 \). Это выражение подставляем в первое уравнение. Заметим, что первое уравнение содержит разность квадратов, которую можно разложить: \( x^2 — y^2 = (x — y)(x + y) \). Однако проще подставить выражение для \( x \) непосредственно:
\( (y + 4)^2 — y^2 = 8 \)
Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \):
\( y^2 + 8y + 16 — y^2 = 8 \)
Приводим подобные члены. Слагаемые \( y^2 \) и \( -y^2 \) взаимно уничтожаются:
\( 8y + 16 = 8 \)
\( 8y = 8 — 16 \)
\( 8y = -8 \)
\( y = -1 \)
Найдя значение \( y \), вычисляем \( x \) из выражения \( x = y + 4 \): \( x = -1 + 4 = 3 \). Проверим решение: \( x^2 — y^2 = 3^2 — (-1)^2 = 9 — 1 = 8 \) ✓ и \( x — y = 3 — (-1) = 3 + 1 = 4 \) ✓.
Система имеет одно решение: \( (3; -1) \).
г) \( \begin{cases} x^2 + y^2 = 5 \\ x + y = -3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^2 + y^2 = 5 \\ x = -y — 3 \end{cases} \)
Применяем метод подстановки. Из второго уравнения выражаем \( x \) через \( y \): \( x = -y — 3 \). Подставляем это выражение в первое уравнение:
\( (-y — 3)^2 + y^2 = 5 \)
Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы. Заметим, что \( (-y — 3)^2 = (-(y + 3))^2 = (y + 3)^2 \):
\( (y + 3)^2 + y^2 = 5 \)
\( y^2 + 6y + 9 + y^2 = 5 \)
Приводим подобные члены:
\( 2y^2 + 6y + 9 = 5 \)
\( 2y^2 + 6y + 4 = 0 \)
Разделим обе части уравнения на \( 2 \) для упрощения:
\( y^2 + 3y + 2 = 0 \)
Решаем квадратное уравнение, используя теорему Виета. Сумма корней: \( y_1 + y_2 = -3 \), произведение корней: \( y_1 \cdot y_2 = 2 \). Подбирая значения, находим \( y_1 = -2 \) и \( y_2 = -1 \), так как \( -2 + (-1) = -3 \) и \( (-2) \cdot (-1) = 2 \).
Для каждого найденного значения \( y \) вычисляем соответствующее значение \( x \) из выражения \( x = -y — 3 \). Если \( y = -2 \), то \( x = -(-2) — 3 = 2 — 3 = -1 \). Проверим: \( x^2 + y^2 = (-1)^2 + (-2)^2 = 1 + 4 = 5 \) ✓ и \( x + y = -1 + (-2) = -3 \) ✓. Если \( y = -1 \), то \( x = -(-1) — 3 = 1 — 3 = -2 \). Проверим: \( x^2 + y^2 = (-2)^2 + (-1)^2 = 4 + 1 = 5 \) ✓ и \( x + y = -2 + (-1) = -3 \) ✓.
Система имеет два решения: \( (-1; -2) \) и \( (-2; -1) \).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!