ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 706 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

а) \( \begin{cases} y — 2x = 2, \\ 5x^2 — y = 1; \end{cases} \)

б) \( \begin{cases} x — 2y^2 = 2, \\ 3x + y = 7; \end{cases} \)

в) \( \begin{cases} 3x^2 — 2y = 1, \\ 2x^2 — y^2 = 1; \end{cases} \)

г) \( \begin{cases} 3x^2 + 2y^2 = 11, \\ x + 2y = 3; \end{cases} \)

д) \( \begin{cases} x^2 + y^2 = 100, \\ 3x = 4y; \end{cases} \)

е) \( \begin{cases} 2x^2 — y^2 = 32, \\ 2x — y = 8. \end{cases} \)

а) \( \begin{cases} y — 2x = 2 \\ 5x^2 — y = 1 \end{cases} \)

Подставим \( y = 2x + 2 \) во второе уравнение системы:

\( 5x^2 — (2x + 2) = 1 \)

\( 5x^2 — 2x — 2 — 1 = 0 \)

\( 5x^2 — 2x — 3 = 0 \)

\( D = 4 + 4 \cdot 5 \cdot 3 = 4 + 60 = 64 = 8^2 \)

\( x_1 = \frac{2 — 8}{2 \cdot 5} = \frac{-6}{10} = -0,6; \quad x_2 = \frac{2 + 8}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1 \)

Если \( x = -0,6 \), то: \( y = 2x + 2 = 2 \cdot (-0,6) + 2 = -1,2 + 2 = 0,8 \)

Если \( x = 1 \), то: \( y = 2x + 2 = 2 \cdot 1 + 2 = 4 \)

Ответ: \( (-0,6; 0,8); (1; 4) \)

б) \( \begin{cases} x — 2y^2 = 2 \\ 3x + y = 7 \end{cases} \)

Подставим \( y = 7 — 3x \) в первое уравнение системы:

\( x — 2(7 — 3x)^2 = 2 \)

\( x — 2(49 — 42x + 9x^2) — 2 = 0 \)

\( x — 98 + 84x — 18x^2 — 2 = 0 \)

\( -18x^2 + 85x — 100 = 0 \)

\( 18x^2 — 85x + 100 = 0 \)

\( D = 7225 — 4 \cdot 18 \cdot 100 = 7225 — 7200 = 25 = 5^2 \)

\( x_1 = \frac{85 — 5}{2 \cdot 18} = \frac{80}{36} = \frac{20}{9}; \quad x_2 = \frac{85 + 5}{2 \cdot 18} = \frac{90}{36} = 2,5 \)

Если \( x = \frac{20}{9} \), то: \( y = 7 — 3x = 7 — 3 \cdot \frac{20}{9} = 7 — \frac{20}{3} = \frac{21 — 20}{3} = \frac{1}{3} \)

Если \( x = 2,5 \), то: \( y = 7 — 3x = 7 — 3 \cdot 2,5 = 7 — 7,5 = -0,5 \)

Ответ: \( \left(\frac{20}{9}; \frac{1}{3}\right); (2,5; -0,5) \)

в) \( \begin{cases} 3x^2 — 2y = 1 \\ 6x^2 — 4y = 2 \end{cases} \) и \( \begin{cases} 3x^2 — 2y = 1 \\ 6x^2 — 3y^2 = 3 \end{cases} \)

Вычтем из первого уравнения системы второе:

\( -4y + 3y^2 = -1 \)

\( 3y^2 — 4y + 1 = 0 \)

\( D = 16 — 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 — 12 = 4 = 2^2 \)

\( y_1 = \frac{4 — 2}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}; \quad y_2 = \frac{4 + 2}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1 \)

Если \( y = 1 \), то: \( 3x^2 — 2 \cdot 1 = 1 \Rightarrow 3x^2 — 2 = 1 \Rightarrow 3x^2 = 3 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \)

Если \( y = \frac{1}{3} \), то: \( 3x^2 — 2 \cdot \frac{1}{3} = 1 \Rightarrow 3x^2 — \frac{2}{3} = 1 \Rightarrow 3x^2 = \frac{5}{3} \Rightarrow x^2 = \frac{5}{9} \Rightarrow x = \pm \frac{\sqrt{5}}{3} \)

Ответ: \( \left(-\frac{\sqrt{5}}{3}; \frac{1}{3}\right); \left(\frac{\sqrt{5}}{3}; \frac{1}{3}\right); (-1; 1); (1; 1) \)

г) \( \begin{cases} 3x^2 + 2y^2 = 11 \\ x + 2y = 3 \end{cases} \)

Подставим \( x = 3 — 2y \) в первое уравнение системы:

\( 3(3 — 2y)^2 + 2y^2 = 11 \)

\( 3(9 — 12y + 4y^2) + 2y^2 — 11 = 0 \)

\( 27 — 36y + 12y^2 + 2y^2 — 11 = 0 \)

\( 14y^2 — 36y + 16 = 0 \) \( | : 2 \)

\( 7y^2 — 18y + 8 = 0 \)

\( D = 324 — 4 \cdot 7 \cdot 8 = 324 — 224 = 100 = 10^2 \)

\( y_1 = \frac{18 — 10}{2 \cdot 7} = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}; \quad y_2 = \frac{18 + 10}{2 \cdot 7} = \frac{28}{14} = 2 \)

Если \( y = \frac{4}{7} \), то: \( x = 3 — 2y = 3 — 2 \cdot \frac{4}{7} = 3 — \frac{8}{7} = \frac{21 — 8}{7} = \frac{13}{7} \)

Если \( y = 2 \), то: \( x = 3 — 2y = 3 — 2 \cdot 2 = 3 — 4 = -1 \)

Ответ: \( \left(\frac{13}{7}; \frac{4}{7}\right); (-1; 2) \)

д) \( \begin{cases} x^2 + y^2 = 100 \\ 3x = 4y \end{cases} \)

Подставим \( y = \frac{3x}{4} \) в первое уравнение системы:

\( x^2 + \left(\frac{3x}{4}\right)^2 = 100 \)

\( x^2 + \frac{9x^2}{16} = 100 \)

\( \frac{16x^2 + 9x^2}{16} = 100 \)

\( \frac{25x^2}{16} = 100 \)

\( x^2 = 100 \cdot \frac{16}{25} = 64 \)

\( x = \pm 8 \)

Если \( x = -8 \), то: \( y = \frac{3x}{4} = \frac{3 \cdot (-8)}{4} = -6 \)

Если \( x = 8 \), то: \( y = \frac{3x}{4} = \frac{3 \cdot 8}{4} = 6 \)

Ответ: \( (-8; -6); (8; 6) \)

е) \( \begin{cases} 2x^2 — y^2 = 32 \\ 2x — y = 8 \end{cases} \)

Подставим \( y = 2x — 8 \) в первое уравнение системы:

\( 2x^2 — (2x — 8)^2 = 32 \)

\( 2x^2 — (4x^2 — 32x + 64) — 32 = 0 \)

\( 2x^2 — 4x^2 + 32x — 64 — 32 = 0 \)

\( -2x^2 + 32x — 96 = 0 \) \( | : (-2) \)

\( x^2 — 16x + 48 = 0 \)

\( x_1 + x_2 = 16, \quad x_1 \cdot x_2 = 48; \quad x_1 = 4, \quad x_2 = 12 \)

Если \( x = 4 \), то: \( y = 2x — 8 = 2 \cdot 4 — 8 = 0 \)

Если \( x = 12 \), то: \( y = 2x — 8 = 2 \cdot 12 — 8 = 16 \)

Ответ: \( (4; 0); (12; 16) \)

а) \( \begin{cases} y — 2x = 2 \\ 5x^2 — y = 1 \end{cases} \)

Из первого уравнения выражаем переменную \( y \) через \( x \): \( y = 2x + 2 \). Это выражение подставляем во второе уравнение системы, получая уравнение только с одной переменной. Подставим \( y = 2x + 2 \) во второе уравнение: \( 5x^2 — (2x + 2) = 1 \). Раскроем скобки и упростим: \( 5x^2 — 2x — 2 — 1 = 0 \), откуда \( 5x^2 — 2x — 3 = 0 \). Это квадратное уравнение решаем через дискриминант: \( D = (-2)^2 — 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 4 + 60 = 64 = 8^2 \). Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два различных корня.

Находим корни по формуле \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \): \( x_1 = \frac{2 — 8}{2 \cdot 5} = \frac{-6}{10} = -0,6 \) и \( x_2 = \frac{2 + 8}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1 \). Теперь для каждого значения \( x \) находим соответствующее значение \( y \) по формуле \( y = 2x + 2 \). При \( x = -0,6 \): \( y = 2 \cdot (-0,6) + 2 = -1,2 + 2 = 0,8 \). При \( x = 1 \): \( y = 2 \cdot 1 + 2 = 4 \). Таким образом, система имеет два решения: \( (-0,6; 0,8) \) и \( (1; 4) \).

б) \( \begin{cases} x — 2y^2 = 2 \\ 3x + y = 7 \end{cases} \)

Из второго уравнения выражаем \( x \) через \( y \): \( y = 7 — 3x \). Подставляем это выражение в первое уравнение системы: \( x — 2(7 — 3x)^2 = 2 \). Раскроем квадрат двучлена: \( (7 — 3x)^2 = 49 — 42x + 9x^2 \). Подставим: \( x — 2(49 — 42x + 9x^2) — 2 = 0 \). Раскроем скобки: \( x — 98 + 84x — 18x^2 — 2 = 0 \). Приведём подобные члены: \( -18x^2 + 85x — 100 = 0 \). Умножим на \( -1 \) и получим: \( 18x^2 — 85x + 100 = 0 \).

Найдём дискриминант: \( D = 85^2 — 4 \cdot 18 \cdot 100 = 7225 — 7200 = 25 = 5^2 \). Вычислим корни: \( x_1 = \frac{85 — 5}{2 \cdot 18} = \frac{80}{36} = \frac{20}{9} \) и \( x_2 = \frac{85 + 5}{2 \cdot 18} = \frac{90}{36} = 2,5 \). Для каждого значения \( x \) находим \( y \) по формуле \( y = 7 — 3x \). При \( x = \frac{20}{9} \): \( y = 7 — 3 \cdot \frac{20}{9} = 7 — \frac{60}{9} = \frac{63 — 60}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \). При \( x = 2,5 \): \( y = 7 — 3 \cdot 2,5 = 7 — 7,5 = -0,5 \). Решения системы: \( \left(\frac{20}{9}; \frac{1}{3}\right) \) и \( (2,5; -0,5) \).

в) \( \begin{cases} 3x^2 — 2y = 1 \\ 6x^2 — 4y = 2 \end{cases} \) и \( \begin{cases} 3x^2 — 2y = 1 \\ 6x^2 — 3y^2 = 3 \end{cases} \)

Рассмотрим вторую систему, так как первая система содержит зависимые уравнения (второе уравнение является удвоением первого). Вычтем первое уравнение, умноженное на два, из второго уравнения второй системы. Сначала умножим первое уравнение на два: \( 2 \cdot (3x^2 — 2y) = 2 \cdot 1 \), получаем \( 6x^2 — 4y = 2 \). Теперь вычтем это из второго уравнения: \( (6x^2 — 3y^2) — (6x^2 — 4y) = 3 — 2 \), откуда \( -3y^2 + 4y = 1 \). Перепишем в стандартном виде: \( 3y^2 — 4y + 1 = 0 \).

Найдём дискриминант этого квадратного уравнения: \( D = 16 — 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 — 12 = 4 = 2^2 \). Вычислим корни: \( y_1 = \frac{4 — 2}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \) и \( y_2 = \frac{4 + 2}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1 \). Для каждого значения \( y \) найдём \( x \) из первого уравнения \( 3x^2 — 2y = 1 \), то есть \( 3x^2 = 1 + 2y \). При \( y = 1 \): \( 3x^2 = 1 + 2 = 3 \), откуда \( x^2 = 1 \) и \( x = \pm 1 \). При \( y = \frac{1}{3} \): \( 3x^2 = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3} \), откуда \( x^2 = \frac{5}{9} \) и \( x = \pm \frac{\sqrt{5}}{3} \). Система имеет четыре решения: \( (-1; 1) \), \( (1; 1) \), \( \left(-\frac{\sqrt{5}}{3}; \frac{1}{3}\right) \) и \( \left(\frac{\sqrt{5}}{3}; \frac{1}{3}\right) \).

г) \( \begin{cases} 3x^2 + 2y^2 = 11 \\ x + 2y = 3 \end{cases} \)

Из второго уравнения выражаем \( x \) через \( y \): \( x = 3 — 2y \). Подставляем в первое уравнение: \( 3(3 — 2y)^2 + 2y^2 = 11 \). Раскроем квадрат: \( (3 — 2y)^2 = 9 — 12y + 4y^2 \). Подставим: \( 3(9 — 12y + 4y^2) + 2y^2 = 11 \). Раскроем скобки: \( 27 — 36y + 12y^2 + 2y^2 = 11 \). Приведём подобные: \( 14y^2 — 36y + 27 — 11 = 0 \), откуда \( 14y^2 — 36y + 16 = 0 \). Разделим на два: \( 7y^2 — 18y + 8 = 0 \).

Вычислим дискриминант: \( D = 324 — 4 \cdot 7 \cdot 8 = 324 — 224 = 100 = 10^2 \). Найдём корни: \( y_1 = \frac{18 — 10}{14} = \frac{8}{14} = \frac{4}{7} \) и \( y_2 = \frac{18 + 10}{14} = \frac{28}{14} = 2 \). Для каждого значения \( y \) находим \( x \) по формуле \( x = 3 — 2y \). При \( y = \frac{4}{7} \): \( x = 3 — 2 \cdot \frac{4}{7} = 3 — \frac{8}{7} = \frac{21 — 8}{7} = \frac{13}{7} \). При \( y = 2 \): \( x = 3 — 2 \cdot 2 = 3 — 4 = -1 \). Решения системы: \( \left(\frac{13}{7}; \frac{4}{7}\right) \) и \( (-1; 2) \).

д) \( \begin{cases} x^2 + y^2 = 100 \\ 3x = 4y \end{cases} \)

Из второго уравнения выражаем \( y \) через \( x \): \( y = \frac{3x}{4} \). Подставляем в первое уравнение: \( x^2 + \left(\frac{3x}{4}\right)^2 = 100 \). Упростим: \( x^2 + \frac{9x^2}{16} = 100 \). Приведём к общему знаменателю: \( \frac{16x^2 + 9x^2}{16} = 100 \), откуда \( \frac{25x^2}{16} = 100 \). Умножим обе части на \( \frac{16}{25} \): \( x^2 = 100 \cdot \frac{16}{25} = \frac{1600}{25} = 64 \). Следовательно, \( x = \pm 8 \).

Для каждого значения \( x \) находим \( y \) по формуле \( y = \frac{3x}{4} \). При \( x = 8 \): \( y = \frac{3 \cdot 8}{4} = \frac{24}{4} = 6 \). При \( x = -8 \): \( y = \frac{3 \cdot (-8)}{4} = \frac{-24}{4} = -6 \). Проверим: \( 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 \) и \( 3 \cdot 8 = 24 = 4 \cdot 6 \) — верно. Решения системы: \( (8; 6) \) и \( (-8; -6) \).

е) \( \begin{cases} 2x^2 — y^2 = 32 \\ 2x — y = 8 \end{cases} \)

Из второго уравнения выражаем \( y \) через \( x \): \( y = 2x — 8 \). Подставляем в первое уравнение: \( 2x^2 — (2x — 8)^2 = 32 \). Раскроем квадрат: \( (2x — 8)^2 = 4x^2 — 32x + 64 \). Подставим: \( 2x^2 — (4x^2 — 32x + 64) = 32 \). Раскроем скобки: \( 2x^2 — 4x^2 + 32x — 64 = 32 \). Приведём подобные: \( -2x^2 + 32x — 64 — 32 = 0 \), откуда \( -2x^2 + 32x — 96 = 0 \). Разделим на \( -2 \): \( x^2 — 16x + 48 = 0 \).

По теореме Виета сумма корней равна 16, а произведение равно 48. Подберём корни: это числа 4 и 12, так как \( 4 + 12 = 16 \) и \( 4 \cdot 12 = 48 \). Следовательно, \( x_1 = 4 \) и \( x_2 = 12 \). Для каждого значения \( x \) находим \( y \) по формуле \( y = 2x — 8 \). При \( x = 4 \): \( y = 2 \cdot 4 — 8 = 8 — 8 = 0 \). При \( x = 12 \): \( y = 2 \cdot 12 — 8 = 24 — 8 = 16 \). Проверим: при \( (4; 0) \): \( 2 \cdot 16 — 0 = 32 \) и \( 2 \cdot 4 — 0 = 8 \) — верно. При \( (12; 16) \): \( 2 \cdot 144 — 256 = 288 — 256 = 32 \) и \( 2 \cdot 12 — 16 = 24 — 16 = 8 \) — верно. Решения системы: \( (4; 0) \) и \( (12; 16) \).