Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 707 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Решите систему уравнений, используя способ сложения или подстановки:
а) \( \begin{cases} 2x^2 + y^2 = 9, \\ x^2 — y^2 = 3; \end{cases} \)
б) \( \begin{cases} 2x^2 — xy = 33, \\ 4x — y = 17; \end{cases} \)
в) \( \begin{cases} 2x + 4y = 5(x — y), \\ x^2 — y^2 = 6; \end{cases} \)
г) \( \begin{cases} x — y — 4 = 0, \\ x^2 + y^2 = 8,5; \end{cases} \)
д) \( \begin{cases} x^2 + 4y = 10, \\ x — 2y = -5; \end{cases} \)
е) \( \begin{cases} x — 2y + 1 = 0, \\ 5xy + y^2 = 16. \end{cases} \)
а) \( \begin{cases} 2x^2 + y^2 = 9 \\ x^2 — y^2 = 3 \end{cases} \)
Прибавим к первому уравнению системы второе: \( 3x^2 = 12 \) \( \Rightarrow \) \( x^2 = 4 \) \( \Rightarrow \) \( x = \pm 2 \).
Если \( x = -2 \), то: \( (-2)^2 — y^2 = 3 \) \( \Rightarrow \) \( 4 — y^2 = 3 \) \( \Rightarrow \) \( y^2 = 1 \) \( \Rightarrow \) \( y = \pm 1 \).
Если \( x = 2 \), то: \( 2^2 — y^2 = 3 \) \( \Rightarrow \) \( 4 — y^2 = 3 \) \( \Rightarrow \) \( y^2 = 1 \) \( \Rightarrow \) \( y = \pm 1 \).
Ответ: \( (-2; -1), (-2; 1), (2; -1), (2; 1) \).
б) \( \begin{cases} 2x^2 — xy = 33 \\ 4x — y = 17 \end{cases} \)
\( \begin{cases} 2x^2 — xy = 33 \\ y = 4x — 17 \end{cases} \)
Подставим \( y = 4x — 17 \) в первое уравнение системы: \( 2x^2 — x(4x — 17) = 33 \) \( \Rightarrow \) \( 2x^2 — 4x^2 + 17x — 33 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( -2x^2 + 17x — 33 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( 2x^2 — 17x + 33 = 0 \).
\( D = 289 — 4 \cdot 2 \cdot 33 = 289 — 264 = 25 = 5^2 \).
\( x_1 = \frac{17 — 5}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3 \); \( x_2 = \frac{17 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{22}{4} = 5,5 \).
Если \( x = 3 \), то: \( y = 4x — 17 = 4 \cdot 3 — 17 = -5 \).
Если \( x = 5,5 \), то: \( y = 4x — 17 = 4 \cdot 5,5 — 17 = 5 \).
Ответ: \( (3; -5) \) и \( (5,5; 5) \).
в) \( \begin{cases} 3x^2 — 2y = 1 & \mid \cdot 2 \\ 2x^2 — 3y^2 = 1 & \mid \cdot 3 \end{cases} \)
\( \begin{cases} 6x^2 — 4y = 2 \\ 6x^2 — 3y^2 = 3 \end{cases} \)
Вычтем из первого уравнения системы второе: \( -4y + 3y^2 = -1 \) \( \Rightarrow \) \( 3y^2 — 4y + 1 = 0 \).
\( D = 16 — 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 — 12 = 4 = 2^2 \).
\( y_1 = \frac{4 — 2}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \); \( y_2 = \frac{4 + 2}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1 \).
Если \( y = \frac{1}{3} \), то: \( 3x^2 — 2 \cdot \frac{1}{3} = 1 \) \( \Rightarrow \) \( 3x^2 — \frac{2}{3} = 1 \) \( \Rightarrow \) \( 3x^2 = \frac{5}{3} \) \( \Rightarrow \) \( x^2 = \frac{5}{9} \) \( \Rightarrow \) \( x = \pm \frac{\sqrt{5}}{3} \).
Если \( y = 1 \), то: \( 3x^2 — 2 \cdot 1 = 1 \) \( \Rightarrow \) \( 3x^2 — 2 = 1 \) \( \Rightarrow \) \( 3x^2 = 3 \) \( \Rightarrow \) \( x^2 = 1 \) \( \Rightarrow \) \( x = \pm 1 \).
Ответ: \( \left( \frac{\sqrt{5}}{3}; \frac{1}{3} \right), \left( -\frac{\sqrt{5}}{3}; \frac{1}{3} \right), (-1; 1), (1; 1) \).
г) \( \begin{cases} x — y — 4 = 0 \\ x^2 + y^2 = 8,5 \end{cases} \)
\( \begin{cases} x = y + 4 \\ x^2 + y^2 = 8,5 \end{cases} \)
Подставим \( x = y + 4 \) во второе уравнение системы: \( (y + 4)^2 + y^2 = 8,5 \) \( \Rightarrow \) \( y^2 + 8y + 16 + y^2 — 8,5 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( 2y^2 + 8y + 7,5 = 0 \) \( \mid \cdot 2 \) \( \Rightarrow \) \( 4y^2 + 16y + 15 = 0 \).
\( D = 256 — 4 \cdot 4 \cdot 15 = 256 — 240 = 16 = 4^2 \).
\( y_1 = \frac{-16 — 4}{2 \cdot 4} = \frac{-20}{8} = -2,5 \); \( y_2 = \frac{-16 + 4}{2 \cdot 4} = \frac{-12}{8} = -1,5 \).
Если \( y = -2,5 \), то: \( x = y + 4 = -2,5 + 4 = 1,5 \).
Если \( y = -1,5 \), то: \( x = y + 4 = -1,5 + 4 = 2,5 \).
Ответ: \( (1,5; -2,5) \) и \( (2,5; -1,5) \).
д) \( \begin{cases} x^2 + 4y = 10 \\ x — 2y = -5 \end{cases} \)
\( \begin{cases} x^2 + 4y = 10 \\ 2x — 4y = -10 \end{cases} \mid \cdot 2 \)
Прибавим к первому уравнению системы второе: \( x^2 + 2x = 0 \) \( \Rightarrow \) \( x(x + 2) = 0 \) \( \Rightarrow \) \( x = 0 \) или \( x = -2 \).
Если \( x = 0 \), то: \( 0^2 + 4y = 10 \) \( \Rightarrow \) \( 4y = 10 \) \( \Rightarrow \) \( y = 2,5 \).
Если \( x = -2 \), то: \( (-2)^2 + 4y = 10 \) \( \Rightarrow \) \( 4 + 4y = 10 \) \( \Rightarrow \) \( 4y = 6 \) \( \Rightarrow \) \( y = 1,5 \).
Ответ: \( (0; 2,5) \) и \( (-2; 1,5) \).
е) \( \begin{cases} x — 2y + 1 = 0 \\ 5xy + y^2 = 16 \end{cases} \)
\( \begin{cases} x = 2y — 1 \\ 5xy + y^2 = 16 \end{cases} \)
Подставим \( x = 2y — 1 \) во второе уравнение системы: \( 5y(2y — 1) + y^2 = 16 \) \( \Rightarrow \) \( 10y^2 — 5y + y^2 — 16 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( 11y^2 — 5y — 16 = 0 \).
\( D = 25 + 4 \cdot 11 \cdot 16 = 25 + 704 = 729 = 27^2 \).
\( y_1 = \frac{5 + 27}{2 \cdot 11} = \frac{32}{22} = \frac{16}{11} \); \( y_2 = \frac{5 — 27}{2 \cdot 11} = \frac{-22}{22} = -1 \).
Если \( y = -1 \), то: \( x = 2y — 1 = 2 \cdot (-1) — 1 = -3 \).
Если \( y = \frac{16}{11} \), то: \( x = 2y — 1 = 2 \cdot \frac{16}{11} — 1 = \frac{32}{11} — 1 = \frac{32 — 11}{11} = \frac{21}{11} \).
Ответ: \( (-1; -3) \) и \( \left( \frac{21}{11}; \frac{16}{11} \right) \).
а) \( \begin{cases} 2x^2 + y^2 = 9 \\ x^2 — y^2 = 3 \end{cases} \)
Для решения этой системы применим метод алгебраического сложения. Сложим оба уравнения, чтобы исключить переменную \( y^2 \). Первое уравнение содержит \( 2x^2 + y^2 = 9 \), а второе \( x^2 — y^2 = 3 \). При сложении получаем \( 2x^2 + y^2 + x^2 — y^2 = 9 + 3 \), что дает нам \( 3x^2 = 12 \). Разделив обе части на 3, находим \( x^2 = 4 \), откуда \( x = \pm 2 \). Этот результат показывает, что переменная \( x \) принимает два значения: положительное и отрицательное.
Теперь подставим найденные значения \( x \) во второе уравнение системы для определения соответствующих значений \( y \). Если \( x = -2 \), то \( (-2)^2 — y^2 = 3 \) \( \Rightarrow \) \( 4 — y^2 = 3 \) \( \Rightarrow \) \( y^2 = 1 \) \( \Rightarrow \) \( y = \pm 1 \). Аналогично, если \( x = 2 \), то \( 2^2 — y^2 = 3 \) \( \Rightarrow \) \( 4 — y^2 = 3 \) \( \Rightarrow \) \( y^2 = 1 \) \( \Rightarrow \) \( y = \pm 1 \). В обоих случаях переменная \( y \) принимает значения \( 1 \) и \( -1 \).
Таким образом, система имеет четыре решения, которые получаются путем комбинирования всех возможных значений \( x \) и \( y \). Решения: \( (-2; -1), (-2; 1), (2; -1), (2; 1) \).
б) \( \begin{cases} 2x^2 — xy = 33 \\ 4x — y = 17 \end{cases} \)
Решение этой системы начинается с выражения переменной \( y \) из линейного уравнения. Из второго уравнения \( 4x — y = 17 \) выразим \( y = 4x — 17 \). Это позволяет нам перейти к системе, где одно уравнение линейное, а другое содержит только одну переменную после подстановки.
Подставим выражение \( y = 4x — 17 \) в первое уравнение системы: \( 2x^2 — x(4x — 17) = 33 \) \( \Rightarrow \) \( 2x^2 — 4x^2 + 17x — 33 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( -2x^2 + 17x — 33 = 0 \). Умножив на \( -1 \), получаем квадратное уравнение \( 2x^2 — 17x + 33 = 0 \). Для решения используем формулу дискриминанта: \( D = 289 — 4 \cdot 2 \cdot 33 = 289 — 264 = 25 = 5^2 \). Дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных действительных корня.
Находим корни квадратного уравнения: \( x_1 = \frac{17 — 5}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3 \) и \( x_2 = \frac{17 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{22}{4} = 5,5 \). Для каждого значения \( x \) вычислим соответствующее значение \( y \) по формуле \( y = 4x — 17 \). Если \( x = 3 \), то \( y = 4 \cdot 3 — 17 = 12 — 17 = -5 \). Если \( x = 5,5 \), то \( y = 4 \cdot 5,5 — 17 = 22 — 17 = 5 \). Решения системы: \( (3; -5) \) и \( (5,5; 5) \).
в) \( \begin{cases} 3x^2 — 2y = 1 & \mid \cdot 2 \\ 2x^2 — 3y^2 = 1 & \mid \cdot 3 \end{cases} \)
Для решения этой системы применим метод исключения переменной \( x^2 \). Умножим первое уравнение на 2, а второе на 3, чтобы получить одинаковые коэффициенты при \( x^2 \). После умножения получаем: \( 6x^2 — 4y = 2 \) и \( 6x^2 — 3y^2 = 3 \). Вычтем второе уравнение из первого: \( 6x^2 — 4y — (6x^2 — 3y^2) = 2 — 3 \) \( \Rightarrow \) \( -4y + 3y^2 = -1 \) \( \Rightarrow \) \( 3y^2 — 4y + 1 = 0 \). Получилось квадратное уравнение относительно \( y \).
Решаем квадратное уравнение \( 3y^2 — 4y + 1 = 0 \) с помощью дискриминанта: \( D = 16 — 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 — 12 = 4 = 2^2 \). Находим корни: \( y_1 = \frac{4 — 2}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \) и \( y_2 = \frac{4 + 2}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1 \). Теперь для каждого значения \( y \) найдем соответствующие значения \( x \) из первого исходного уравнения \( 3x^2 — 2y = 1 \).
Если \( y = \frac{1}{3} \), то \( 3x^2 — 2 \cdot \frac{1}{3} = 1 \) \( \Rightarrow \) \( 3x^2 — \frac{2}{3} = 1 \) \( \Rightarrow \) \( 3x^2 = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3} \) \( \Rightarrow \) \( x^2 = \frac{5}{9} \) \( \Rightarrow \) \( x = \pm \frac{\sqrt{5}}{3} \). Если \( y = 1 \), то \( 3x^2 — 2 \cdot 1 = 1 \) \( \Rightarrow \) \( 3x^2 — 2 = 1 \) \( \Rightarrow \) \( 3x^2 = 3 \) \( \Rightarrow \) \( x^2 = 1 \) \( \Rightarrow \) \( x = \pm 1 \). Система имеет четыре решения: \( \left( \frac{\sqrt{5}}{3}; \frac{1}{3} \right), \left( -\frac{\sqrt{5}}{3}; \frac{1}{3} \right), (-1; 1), (1; 1) \).
г) \( \begin{cases} x — y — 4 = 0 \\ x^2 + y^2 = 8,5 \end{cases} \)
Из первого уравнения выразим переменную \( x \) через \( y \). Уравнение \( x — y — 4 = 0 \) дает нам \( x = y + 4 \). Это линейное выражение позволяет нам подставить его во второе уравнение и получить квадратное уравнение с одной переменной. Подстановка упрощает систему и делает её решение более управляемым.
Подставим \( x = y + 4 \) во второе уравнение: \( (y + 4)^2 + y^2 = 8,5 \). Раскроем скобки: \( y^2 + 8y + 16 + y^2 = 8,5 \) \( \Rightarrow \) \( 2y^2 + 8y + 16 — 8,5 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( 2y^2 + 8y + 7,5 = 0 \). Умножим на 2 для удобства: \( 4y^2 + 16y + 15 = 0 \). Вычислим дискриминант: \( D = 256 — 4 \cdot 4 \cdot 15 = 256 — 240 = 16 = 4^2 \). Дискриминант положительный, поэтому существуют два различных действительных корня.
Находим корни: \( y_1 = \frac{-16 — 4}{2 \cdot 4} = \frac{-20}{8} = -2,5 \) и \( y_2 = \frac{-16 + 4}{2 \cdot 4} = \frac{-12}{8} = -1,5 \). Для каждого значения \( y \) вычислим \( x \) по формуле \( x = y + 4 \). Если \( y = -2,5 \), то \( x = -2,5 + 4 = 1,5 \). Если \( y = -1,5 \), то \( x = -1,5 + 4 = 2,5 \). Решения системы: \( (1,5; -2,5) \) и \( (2,5; -1,5) \).
д) \( \begin{cases} x^2 + 4y = 10 \\ x — 2y = -5 \end{cases} \)
Для решения этой системы применим метод алгебраического сложения. Умножим второе уравнение на 2, чтобы получить коэффициент \( 4y \) с противоположным знаком: \( 2x — 4y = -10 \). Теперь у нас есть система: \( x^2 + 4y = 10 \) и \( 2x — 4y = -10 \). При сложении этих уравнений переменная \( y \) исключается, и мы получаем: \( x^2 + 2x = 0 \).
Решаем полученное уравнение: \( x^2 + 2x = 0 \) \( \Rightarrow \) \( x(x + 2) = 0 \) \( \Rightarrow \) \( x = 0 \) или \( x = -2 \). Получилось два значения переменной \( x \). Теперь для каждого значения \( x \) найдем соответствующее значение \( y \) из первого уравнения \( x^2 + 4y = 10 \).
Если \( x = 0 \), то \( 0^2 + 4y = 10 \) \( \Rightarrow \) \( 4y = 10 \) \( \Rightarrow \) \( y = 2,5 \). Если \( x = -2 \), то \( (-2)^2 + 4y = 10 \) \( \Rightarrow \) \( 4 + 4y = 10 \) \( \Rightarrow \) \( 4y = 6 \) \( \Rightarrow \) \( y = 1,5 \). Решения системы: \( (0; 2,5) \) и \( (-2; 1,5) \).
е) \( \begin{cases} x — 2y + 1 = 0 \\ 5xy + y^2 = 16 \end{cases} \)
Из первого уравнения выразим переменную \( x \) через \( y \). Уравнение \( x — 2y + 1 = 0 \) дает нам \( x = 2y — 1 \). Это выражение позволяет нам исключить переменную \( x \) из второго уравнения и получить квадратное уравнение только с переменной \( y \). Такой подход значительно упрощает решение системы.
Подставим \( x = 2y — 1 \) во второе уравнение: \( 5y(2y — 1) + y^2 = 16 \). Раскроем скобки и упростим: \( 10y^2 — 5y + y^2 = 16 \) \( \Rightarrow \) \( 11y^2 — 5y — 16 = 0 \). Для решения этого квадратного уравнения вычислим дискриминант: \( D = 25 + 4 \cdot 11 \cdot 16 = 25 + 704 = 729 = 27^2 \). Дискриминант является полным квадратом, что гарантирует наличие двух рациональных корней.
Находим корни квадратного уравнения: \( y_1 = \frac{5 + 27}{2 \cdot 11} = \frac{32}{22} = \frac{16}{11} \) и \( y_2 = \frac{5 — 27}{2 \cdot 11} = \frac{-22}{22} = -1 \). Для каждого значения \( y \) вычислим соответствующее значение \( x \) по формуле \( x = 2y — 1 \). Если \( y = -1 \), то \( x = 2 \cdot (-1) — 1 = -2 — 1 = -3 \). Если \( y = \frac{16}{11} \), то \( x = 2 \cdot \frac{16}{11} — 1 = \frac{32}{11} — 1 = \frac{32}{11} — \frac{11}{11} = \frac{21}{11} \). Решения системы: \( (-1; -3) \) и \( \left( \frac{21}{11}; \frac{16}{11} \right) \).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!