ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 708 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

а) \( \begin{cases} 2x + 4y = 5(x — y), \\ x^2 — y^2 = 6; \end{cases} \)

б) \( \begin{cases} u — v = 6(u + v), \\ u^2 — v^2 = 6. \end{cases} \)

а) \( \begin{cases} 2x + 4y = 5(x — y) \\ x^2 — y^2 = 6 \end{cases} \) \( \begin{cases} 2x + 4y = 5x — 5y \\ x^2 — y^2 = 6 \end{cases} \) \( \begin{cases} 3x — 9y = 0 \\ x^2 — y^2 = 6 \end{cases} \) \( \begin{cases} x = 3y \\ x^2 — y^2 = 6 \end{cases} \)

Подставим \( x = 3y \) во второе уравнение:

\( (3y)^2 — y^2 = 6 \)

\( 9y^2 — y^2 = 6 \)

\( 8y^2 = 6 \)

\( y^2 = \frac{3}{4} \)

\( y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Если \( y = -\frac{\sqrt{3}}{2} \), то: \( x = 3y = 3 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{3\sqrt{3}}{2} \)

Если \( y = \frac{\sqrt{3}}{2} \), то: \( x = 3y = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \)

Ответ: \( \left(-\frac{3\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right); \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \)

б) \( \begin{cases} u — v = 6(u + v) \\ u^2 — v^2 = 6 \end{cases} \) \( \begin{cases} u — v = 6u + 6v \\ u^2 — v^2 = 6 \end{cases} \) \( \begin{cases} 5u = -7v \\ u^2 — v^2 = 6 \end{cases} \) \( \begin{cases} u = -1,4v \\ u^2 — v^2 = 6 \end{cases} \)

Подставим \( u = -1,4v \) во второе уравнение:

\( (-1,4v)^2 — v^2 = 6 \)

\( 1,96v^2 — v^2 = 6 \)

\( 0,96v^2 = 6 \)

\( v^2 = 6,25 \)

\( v = \pm 2,5 \)

Если \( v = -2,5 \), то: \( u = -1,4v = -1,4 \cdot (-2,5) = 3,5 \)

Если \( v = 2,5 \), то: \( u = -1,4v = -1,4 \cdot 2,5 = -3,5 \)

Ответ: \( (3,5; -2,5); (-3,5; 2,5) \)

а) \( \begin{cases} 2x + 4y = 5(x — y) \\ x^2 — y^2 = 6 \end{cases} \)

Начнём с упрощения первого уравнения системы. Раскроем скобки в правой части: \( 2x + 4y = 5x — 5y \). Перенесём все члены с переменными в левую часть: \( 2x — 5x + 4y + 5y = 0 \), что даёт нам \( -3x + 9y = 0 \) или \( 3x = 9y \). Таким образом, из первого уравнения получаем соотношение \( x = 3y \). Это ключевой момент, так как он позволяет выразить одну переменную через другую и подставить во второе уравнение.

Подставим найденное соотношение \( x = 3y \) во второе уравнение системы \( x^2 — y^2 = 6 \). Получаем: \( (3y)^2 — y^2 = 6 \). Раскроем скобки: \( 9y^2 — y^2 = 6 \). Приведём подобные члены: \( 8y^2 = 6 \). Разделим обе части на 8: \( y^2 = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \). Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два значения: \( y = \frac{\sqrt{3}}{2} \) и \( y = -\frac{\sqrt{3}}{2} \).

Теперь найдём соответствующие значения переменной \( x \) для каждого значения \( y \). Если \( y = \frac{\sqrt{3}}{2} \), то \( x = 3y = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \). Если \( y = -\frac{\sqrt{3}}{2} \), то \( x = 3y = 3 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{3\sqrt{3}}{2} \). Проверим первое решение: \( \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2 — \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{27}{4} — \frac{3}{4} = \frac{24}{4} = 6 \) ✓. Второе решение проверяется аналогично и также удовлетворяет уравнению.

б) \( \begin{cases} u — v = 6(u + v) \\ u^2 — v^2 = 6 \end{cases} \)

Упростим первое уравнение системы, раскрыв скобки в правой части: \( u — v = 6u + 6v \). Перенесём все члены с переменными в левую часть: \( u — 6u — v — 6v = 0 \), что даёт \( -5u — 7v = 0 \) или \( 5u = -7v \). Из этого соотношения выражаем \( u \) через \( v \): \( u = -\frac{7v}{5} = -1,4v \). Это выражение позволит нам свести систему к одному уравнению с одной неизвестной.

Подставим полученное соотношение \( u = -1,4v \) во второе уравнение системы \( u^2 — v^2 = 6 \). Получаем: \( (-1,4v)^2 — v^2 = 6 \). Раскроем скобки: \( 1,96v^2 — v^2 = 6 \). Приведём подобные члены: \( 0,96v^2 = 6 \). Разделим обе части на 0,96: \( v^2 = \frac{6}{0,96} = \frac{600}{96} = \frac{25}{4} = 6,25 \). Извлекая квадратный корень, получаем два значения: \( v = 2,5 \) и \( v = -2,5 \).

Для каждого значения \( v \) найдём соответствующее значение \( u \). Если \( v = 2,5 \), то \( u = -1,4 \cdot 2,5 = -3,5 \). Если \( v = -2,5 \), то \( u = -1,4 \cdot (-2,5) = 3,5 \). Проверим первое решение: \( (-3,5)^2 — (2,5)^2 = 12,25 — 6,25 = 6 \) ✓. Проверим второе решение: \( (3,5)^2 — (-2,5)^2 = 12,25 — 6,25 = 6 \) ✓. Оба решения удовлетворяют исходной системе уравнений.