ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 709 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Решите систему уравнений

\( \begin{cases} y = 0,5x^2 — 2, \\ y — x = 2 \end{cases} \)

сначала графическим способом, а затем аналитическим.

Дана система уравнений: \( \begin{cases} y = 0,5x^2 — 2 \\ y — x = 2 \end{cases} \) или \( \begin{cases} y = 0,5x^2 — 2 \\ y = x + 2 \end{cases} \)

Парабола \( y = 0,5x^2 — 2 \) имеет ветви, направленные вверх; вершина параболы — точка \( (0; -2) \).

Прямая \( y = x + 2 \) проходит через точки \( (0; 2) \) и \( (1; 3) \).

Графики пересекаются в точках \( (-2; 0) \) и \( (4; 6) \).

Подставим \( y = x + 2 \) в первое уравнение:

\( x + 2 = 0,5x^2 — 2 \) \Rightarrow \( 0,5x^2 — x — 2 — 2 = 0 \) \Rightarrow \( 0,5x^2 — x — 4 = 0 \) \( | \cdot 2 \)

\( x^2 — 2x — 8 = 0 \)

\( D = 4 + 4 \cdot 8 = 4 + 32 = 36 = 6^2 \)

\( x_1 = \frac{2 — 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2; \quad x_2 = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)

Если \( x = -2 \), то: \( y = x + 2 = -2 + 2 = 0 \).

Если \( x = 4 \), то: \( y = x + 2 = 4 + 2 = 6 \).

Ответ: \( (-2; 0) \) и \( (4; 6) \).

Рассмотрим систему уравнений, состоящую из параболы и прямой линии. Нам необходимо найти точки пересечения этих двух графиков, решив систему аналитическим методом. Система имеет вид \( \begin{cases} y = 0,5x^2 — 2 \\ y = x + 2 \end{cases} \), где первое уравнение задаёт параболу, а второе — прямую линию. Для решения подставим выражение для \( y \) из второго уравнения в первое уравнение, что позволит нам найти абсциссы точек пересечения.

Парабола \( y = 0,5x^2 — 2 \) является квадратичной функцией, график которой представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при \( x^2 \) положительный и равен \( 0,5 \)). Вершина этой параболы находится в точке \( (0; -2) \), что означает, что минимальное значение функции равно \( -2 \) и достигается при \( x = 0 \). Для лучшего понимания формы параболы составим таблицу значений функции при различных значениях аргумента.

Проверим значения из таблицы: при \( x = -4 \) получаем \( y = 0,5 \cdot (-4)^2 — 2 = 0,5 \cdot 16 — 2 = 8 — 2 = 6 \); при \( x = -2 \) получаем \( y = 0,5 \cdot (-2)^2 — 2 = 0,5 \cdot 4 — 2 = 2 — 2 = 0 \); при \( x = 0 \) получаем \( y = 0,5 \cdot 0^2 — 2 = -2 \); при \( x = 2 \) получаем \( y = 0,5 \cdot 2^2 — 2 = 0,5 \cdot 4 — 2 = 2 — 2 = 0 \); при \( x = 4 \) получаем \( y = 0,5 \cdot 4^2 — 2 = 0,5 \cdot 16 — 2 = 8 — 2 = 6 \). Таблица показывает, что парабола симметрична относительно оси ординат, проходящей через вершину.

Прямая \( y = x + 2 \) является линейной функцией с угловым коэффициентом, равным единице, что означает наклон под углом 45 градусов к оси абсцисс. Эта прямая пересекает ось ординат в точке \( (0; 2) \), так как при \( x = 0 \) получаем \( y = 0 + 2 = 2 \). Прямая также проходит через точку \( (1; 3) \), так как при \( x = 1 \) получаем \( y = 1 + 2 = 3 \). Линейная функция возрастает, то есть с увеличением \( x \) значение \( y \) также увеличивается.

Для нахождения точек пересечения графиков подставим выражение \( y = x + 2 \) из второго уравнения в первое уравнение \( y = 0,5x^2 — 2 \). Получаем уравнение \( x + 2 = 0,5x^2 — 2 \), которое необходимо решить. Перенесём все члены в одну сторону: \( x + 2 — 0,5x^2 + 2 = 0 \), что упрощается до \( -0,5x^2 + x + 4 = 0 \) или эквивалентно \( 0,5x^2 — x — 4 = 0 \).

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби и получить целые коэффициенты: \( 0,5x^2 — x — 4 = 0 \) \( | \cdot 2 \) приводит к \( x^2 — 2x — 8 = 0 \). Это квадратное уравнение стандартного вида, где \( a = 1 \), \( b = -2 \), \( c = -8 \). Для решения используем формулу дискриминанта: \( D = b^2 — 4ac = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 = 6^2 \). Дискриминант положительный, что означает наличие двух различных действительных корней.

Применим формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 6}{2} \). Первый корень: \( x_1 = \frac{2 — 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \). Второй корень: \( x_2 = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4 \). Таким образом, абсциссы точек пересечения равны \( -2 \) и \( 4 \).

Теперь найдём соответствующие ординаты, подставив найденные значения \( x \) в уравнение прямой \( y = x + 2 \). Для первой точки при \( x = -2 \): \( y = -2 + 2 = 0 \), поэтому первая точка пересечения имеет координаты \( (-2; 0) \). Для второй точки при \( x = 4 \): \( y = 4 + 2 = 6 \), поэтому вторая точка пересечения имеет координаты \( (4; 6) \). Можно проверить эти результаты, подставив координаты в оба исходных уравнения.

Проверка первой точки \( (-2; 0) \): в уравнение параболы \( y = 0,5x^2 — 2 \) подставляем \( x = -2 \) и получаем \( y = 0,5 \cdot (-2)^2 — 2 = 0,5 \cdot 4 — 2 = 2 — 2 = 0 \), что совпадает с ординатой точки; в уравнение прямой \( y = x + 2 \) подставляем \( x = -2 \) и получаем \( y = -2 + 2 = 0 \), что также совпадает. Проверка второй точки \( (4; 6) \): в уравнение параболы подставляем \( x = 4 \) и получаем \( y = 0,5 \cdot 4^2 — 2 = 0,5 \cdot 16 — 2 = 8 — 2 = 6 \), что совпадает; в уравнение прямой подставляем \( x = 4 \) и получаем \( y = 4 + 2 = 6 \), что также совпадает. Обе точки удовлетворяют обоим уравнениям системы.

Графически это означает, что парабола и прямая линия пересекаются ровно в двух точках. На координатной плоскости парабола \( y = 0,5x^2 — 2 \) с вершиной в точке \( (0; -2) \) открывается вверх, а прямая \( y = x + 2 \) с положительным наклоном пересекает параболу в точках \( (-2; 0) \) и \( (4; 6) \). Первая точка пересечения находится в левой части координатной плоскости, где парабола поднимается от своей вершины, а вторая точка находится в правой части, где парабола продолжает возрастать. Расстояние между точками пересечения по горизонтали составляет \( 4 — (-2) = 6 \) единиц, а по вертикали \( 6 — 0 = 6 \) единиц.