ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 71 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

При каких целых значениях \(m\) дробь \(\frac{(m-1)(m+1) — 10}{m}\) принимает целые значения?

\((m-1)(m+1)-\frac{10}{m} = \frac{m^2 — 1 — 10}{m} = \frac{m^2 — 11}{m} = \frac{(m — 11)(m + 11)}{m} = m — \frac{11}{m}\).

Дробь принимает целые значения, если \(\frac{11}{m}\) делится нацело, значит \(m\) должен быть делителем 11.

Значит, при \(m = -11; -1; 1; 11\) выражение принимает целые значения.

Рассмотрим выражение \(\frac{(m-1)(m+1)-10}{m}\). Для начала раскроем скобки в числителе. Произведение \((m-1)(m+1)\) раскрывается по формуле разности квадратов и равно \(m^2 — 1\). Подставляем это в числитель: \(m^2 — 1 — 10 = m^2 — 11\). Таким образом, исходная дробь принимает вид \(\frac{m^2 — 11}{m}\).

Далее дробь можно представить как сумму двух слагаемых, разделив числитель на знаменатель по частям: \(\frac{m^2}{m} — \frac{11}{m} = m — \frac{11}{m}\). Это важный шаг, так как теперь выражение состоит из целого числа \(m\) и дроби \(\frac{11}{m}\). Для того чтобы вся дробь была целым числом, необходимо, чтобы дробная часть \(\frac{11}{m}\) была целым числом, то есть чтобы \(m\) делил число 11 без остатка.

Число 11 — простое, поэтому его делителями являются только \(\pm 1\) и \(\pm 11\). Значит, для того чтобы выражение было целым, \(m\) должен принимать одно из значений \(-11; -1; 1; 11\). При этих значениях дробь \(\frac{11}{m}\) будет равна соответственно \(-1; -11; 11; 1\), что делает выражение \(m — \frac{11}{m}\) целым числом. Таким образом, множество значений \(m\), при которых исходное выражение принимает целые значения, равно \(\{-11; -1; 1; 11\}\).