ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 710 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

а) \( \begin{cases} x^2 + y^2 + 3xy = -1, \\ x + 2y = 0; \end{cases} \)

б) \( \begin{cases} u + 2v = 4, \\ u^2 + uv — v = -5. \end{cases} \)

а) \( \begin{cases} x^2 + y^2 + 3xy = -1 \\ x + 2y = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^2 + y^2 + 3xy = -1 \\ x = -2y \end{cases} \)

Подставим \( x = -2y \) в первое уравнение:

\( (-2y)^2 + y^2 + 3y \cdot (-2y) = -1 \)

\( 4y^2 + y^2 — 6y^2 = -1 \)

\( -y^2 = -1 \)

\( y^2 = 1 \)

\( y = \pm 1 \)

Если \( y = -1 \), то: \( x = -2y = -2 \cdot (-1) = 2 \).

Если \( y = 1 \), то: \( x = -2y = -2 \cdot 1 = -2 \).

Ответ: \( (2; -1) \) и \( (-2; 1) \).

б) \( \begin{cases} u + 2v = 4 \\ u^2 + uv — v = -5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u = 4 — 2v \\ u^2 + uv — v = -5 \end{cases} \)

Подставим \( u = 4 — 2v \) во второе уравнение:

\( (4 — 2v)^2 + v(4 — 2v) — v = -5 \)

\( 16 — 16v + 4v^2 + 4v — 2v^2 — v + 5 = 0 \)

\( 2v^2 — 13v + 21 = 0 \)

\( D = 169 — 4 \cdot 2 \cdot 21 = 169 — 168 = 1 = 1^2 \)

\( v_1 = \frac{13 — 1}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3; \quad v_2 = \frac{13 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{14}{4} = 3{,}5 \)

Если \( v = 3 \), то: \( u = 4 — 2v = 4 — 2 \cdot 3 = 4 — 6 = -2 \).

Если \( v = 3{,}5 \), то: \( u = 4 — 2v = 4 — 2 \cdot 3{,}5 = 4 — 7 = -3 \).

Ответ: \( (-2; 3) \) и \( (-3; 3{,}5) \).

а) \( \begin{cases} x^2 + y^2 + 3xy = -1 \\ x + 2y = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^2 + y^2 + 3xy = -1 \\ x = -2y \end{cases} \)

Из второго уравнения системы выражаем переменную \( x \) через \( y \): \( x = -2y \). Это выражение подставляем в первое уравнение системы для получения уравнения с одной переменной. Такой метод называется методом подстановки и позволяет свести систему двух уравнений к одному уравнению относительно одной неизвестной величины.

Подставляем \( x = -2y \) в первое уравнение:

\( (-2y)^2 + y^2 + 3y \cdot (-2y) = -1 \)

Раскрываем скобки и упрощаем выражение. Квадрат числа \( -2y \) равен \( 4y^2 \), произведение \( 3y \cdot (-2y) \) равно \( -6y^2 \). Складываем все члены с переменной \( y \):

\( 4y^2 + y^2 — 6y^2 = -1 \)

\( -y^2 = -1 \)

Делим обе части уравнения на \( -1 \) и получаем \( y^2 = 1 \). Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения, помня о том, что квадратный корень имеет два значения — положительное и отрицательное:

\( y = \pm 1 \)

Теперь для каждого найденного значения \( y \) вычисляем соответствующее значение \( x \) по формуле \( x = -2y \). Если \( y = -1 \), то \( x = -2 \cdot (-1) = 2 \). Если \( y = 1 \), то \( x = -2 \cdot 1 = -2 \). Проверим первое решение: подставим \( x = 2 \) и \( y = -1 \) в оба уравнения исходной системы. В первое уравнение: \( 2^2 + (-1)^2 + 3 \cdot 2 \cdot (-1) = 4 + 1 — 6 = -1 \) — верно. Во второе уравнение: \( 2 + 2 \cdot (-1) = 2 — 2 = 0 \) — верно. Проверим второе решение: подставим \( x = -2 \) и \( y = 1 \). В первое уравнение: \( (-2)^2 + 1^2 + 3 \cdot (-2) \cdot 1 = 4 + 1 — 6 = -1 \) — верно. Во второе уравнение: \( -2 + 2 \cdot 1 = -2 + 2 = 0 \) — верно. Оба решения удовлетворяют исходной системе уравнений.

Решением системы являются две пары значений: \( (2; -1) \) и \( (-2; 1) \).

б) \( \begin{cases} u + 2v = 4 \\ u^2 + uv — v = -5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u = 4 — 2v \\ u^2 + uv — v = -5 \end{cases} \)

Из первого уравнения системы выражаем переменную \( u \) через \( v \): \( u = 4 — 2v \). Это выражение подставляем во второе уравнение системы. Применяя метод подстановки, мы преобразуем систему двух уравнений с двумя неизвестными в одно квадратное уравнение относительно переменной \( v \).

Подставляем \( u = 4 — 2v \) во второе уравнение:

\( (4 — 2v)^2 + v(4 — 2v) — v = -5 \)

Раскрываем скобки последовательно. Квадрат двучлена \( (4 — 2v)^2 = 16 — 16v + 4v^2 \). Произведение \( v(4 — 2v) = 4v — 2v^2 \). Подставляем эти выражения:

\( 16 — 16v + 4v^2 + 4v — 2v^2 — v + 5 = 0 \)

Приводим подобные члены. Коэффициент при \( v^2 \): \( 4 — 2 = 2 \). Коэффициент при \( v \): \( -16 + 4 — 1 = -13 \). Свободный член: \( 16 + 5 = 21 \). Получаем квадратное уравнение:

\( 2v^2 — 13v + 21 = 0 \)

Решаем квадратное уравнение через дискриминант. Вычисляем дискриминант по формуле \( D = b^2 — 4ac \), где \( a = 2 \), \( b = -13 \), \( c = 21 \):

\( D = (-13)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 21 = 169 — 168 = 1 = 1^2 \)

Дискриминант равен единице, что означает, что уравнение имеет два различных действительных корня. Вычисляем корни по формуле \( v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \):

\( v_1 = \frac{13 — 1}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3 \)

\( v_2 = \frac{13 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{14}{4} = 3{,}5 \)

Для каждого найденного значения \( v \) вычисляем соответствующее значение \( u \) по формуле \( u = 4 — 2v \). Если \( v = 3 \), то \( u = 4 — 2 \cdot 3 = 4 — 6 = -2 \). Если \( v = 3{,}5 \), то \( u = 4 — 2 \cdot 3{,}5 = 4 — 7 = -3 \). Проверим первое решение: подставим \( u = -2 \) и \( v = 3 \) в оба уравнения исходной системы. В первое уравнение: \( -2 + 2 \cdot 3 = -2 + 6 = 4 \) — верно. Во второе уравнение: \( (-2)^2 + (-2) \cdot 3 — 3 = 4 — 6 — 3 = -5 \) — верно. Проверим второе решение: подставим \( u = -3 \) и \( v = 3{,}5 \). В первое уравнение: \( -3 + 2 \cdot 3{,}5 = -3 + 7 = 4 \) — верно. Во второе уравнение: \( (-3)^2 + (-3) \cdot 3{,}5 — 3{,}5 = 9 — 10{,}5 — 3{,}5 = -5 \) — верно. Оба решения удовлетворяют исходной системе уравнений.

Решением системы являются две пары значений: \( (-2; 3) \) и \( (-3; 3{,}5) \).