Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 710 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Решите систему уравнений:
а) \( \begin{cases} x^2 + y^2 + 3xy = -1, \\ x + 2y = 0; \end{cases} \)
б) \( \begin{cases} u + 2v = 4, \\ u^2 + uv — v = -5. \end{cases} \)
а) \( \begin{cases} x^2 + y^2 + 3xy = -1 \\ x + 2y = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^2 + y^2 + 3xy = -1 \\ x = -2y \end{cases} \)
Подставим \( x = -2y \) в первое уравнение:
\( (-2y)^2 + y^2 + 3y \cdot (-2y) = -1 \)
\( 4y^2 + y^2 — 6y^2 = -1 \)
\( -y^2 = -1 \)
\( y^2 = 1 \)
\( y = \pm 1 \)
Если \( y = -1 \), то: \( x = -2y = -2 \cdot (-1) = 2 \).
Если \( y = 1 \), то: \( x = -2y = -2 \cdot 1 = -2 \).
Ответ: \( (2; -1) \) и \( (-2; 1) \).
б) \( \begin{cases} u + 2v = 4 \\ u^2 + uv — v = -5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u = 4 — 2v \\ u^2 + uv — v = -5 \end{cases} \)
Подставим \( u = 4 — 2v \) во второе уравнение:
\( (4 — 2v)^2 + v(4 — 2v) — v = -5 \)
\( 16 — 16v + 4v^2 + 4v — 2v^2 — v + 5 = 0 \)
\( 2v^2 — 13v + 21 = 0 \)
\( D = 169 — 4 \cdot 2 \cdot 21 = 169 — 168 = 1 = 1^2 \)
\( v_1 = \frac{13 — 1}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3; \quad v_2 = \frac{13 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{14}{4} = 3{,}5 \)
Если \( v = 3 \), то: \( u = 4 — 2v = 4 — 2 \cdot 3 = 4 — 6 = -2 \).
Если \( v = 3{,}5 \), то: \( u = 4 — 2v = 4 — 2 \cdot 3{,}5 = 4 — 7 = -3 \).
Ответ: \( (-2; 3) \) и \( (-3; 3{,}5) \).
а) \( \begin{cases} x^2 + y^2 + 3xy = -1 \\ x + 2y = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^2 + y^2 + 3xy = -1 \\ x = -2y \end{cases} \)
Из второго уравнения системы выражаем переменную \( x \) через \( y \): \( x = -2y \). Это выражение подставляем в первое уравнение системы для получения уравнения с одной переменной. Такой метод называется методом подстановки и позволяет свести систему двух уравнений к одному уравнению относительно одной неизвестной величины.
Подставляем \( x = -2y \) в первое уравнение:
\( (-2y)^2 + y^2 + 3y \cdot (-2y) = -1 \)
Раскрываем скобки и упрощаем выражение. Квадрат числа \( -2y \) равен \( 4y^2 \), произведение \( 3y \cdot (-2y) \) равно \( -6y^2 \). Складываем все члены с переменной \( y \):
\( 4y^2 + y^2 — 6y^2 = -1 \)
\( -y^2 = -1 \)
Делим обе части уравнения на \( -1 \) и получаем \( y^2 = 1 \). Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения, помня о том, что квадратный корень имеет два значения — положительное и отрицательное:
\( y = \pm 1 \)
Теперь для каждого найденного значения \( y \) вычисляем соответствующее значение \( x \) по формуле \( x = -2y \). Если \( y = -1 \), то \( x = -2 \cdot (-1) = 2 \). Если \( y = 1 \), то \( x = -2 \cdot 1 = -2 \). Проверим первое решение: подставим \( x = 2 \) и \( y = -1 \) в оба уравнения исходной системы. В первое уравнение: \( 2^2 + (-1)^2 + 3 \cdot 2 \cdot (-1) = 4 + 1 — 6 = -1 \) — верно. Во второе уравнение: \( 2 + 2 \cdot (-1) = 2 — 2 = 0 \) — верно. Проверим второе решение: подставим \( x = -2 \) и \( y = 1 \). В первое уравнение: \( (-2)^2 + 1^2 + 3 \cdot (-2) \cdot 1 = 4 + 1 — 6 = -1 \) — верно. Во второе уравнение: \( -2 + 2 \cdot 1 = -2 + 2 = 0 \) — верно. Оба решения удовлетворяют исходной системе уравнений.
Решением системы являются две пары значений: \( (2; -1) \) и \( (-2; 1) \).
б) \( \begin{cases} u + 2v = 4 \\ u^2 + uv — v = -5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u = 4 — 2v \\ u^2 + uv — v = -5 \end{cases} \)
Из первого уравнения системы выражаем переменную \( u \) через \( v \): \( u = 4 — 2v \). Это выражение подставляем во второе уравнение системы. Применяя метод подстановки, мы преобразуем систему двух уравнений с двумя неизвестными в одно квадратное уравнение относительно переменной \( v \).
Подставляем \( u = 4 — 2v \) во второе уравнение:
\( (4 — 2v)^2 + v(4 — 2v) — v = -5 \)
Раскрываем скобки последовательно. Квадрат двучлена \( (4 — 2v)^2 = 16 — 16v + 4v^2 \). Произведение \( v(4 — 2v) = 4v — 2v^2 \). Подставляем эти выражения:
\( 16 — 16v + 4v^2 + 4v — 2v^2 — v + 5 = 0 \)
Приводим подобные члены. Коэффициент при \( v^2 \): \( 4 — 2 = 2 \). Коэффициент при \( v \): \( -16 + 4 — 1 = -13 \). Свободный член: \( 16 + 5 = 21 \). Получаем квадратное уравнение:
\( 2v^2 — 13v + 21 = 0 \)
Решаем квадратное уравнение через дискриминант. Вычисляем дискриминант по формуле \( D = b^2 — 4ac \), где \( a = 2 \), \( b = -13 \), \( c = 21 \):
\( D = (-13)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 21 = 169 — 168 = 1 = 1^2 \)
Дискриминант равен единице, что означает, что уравнение имеет два различных действительных корня. Вычисляем корни по формуле \( v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \):
\( v_1 = \frac{13 — 1}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3 \)
\( v_2 = \frac{13 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{14}{4} = 3{,}5 \)
Для каждого найденного значения \( v \) вычисляем соответствующее значение \( u \) по формуле \( u = 4 — 2v \). Если \( v = 3 \), то \( u = 4 — 2 \cdot 3 = 4 — 6 = -2 \). Если \( v = 3{,}5 \), то \( u = 4 — 2 \cdot 3{,}5 = 4 — 7 = -3 \). Проверим первое решение: подставим \( u = -2 \) и \( v = 3 \) в оба уравнения исходной системы. В первое уравнение: \( -2 + 2 \cdot 3 = -2 + 6 = 4 \) — верно. Во второе уравнение: \( (-2)^2 + (-2) \cdot 3 — 3 = 4 — 6 — 3 = -5 \) — верно. Проверим второе решение: подставим \( u = -3 \) и \( v = 3{,}5 \). В первое уравнение: \( -3 + 2 \cdot 3{,}5 = -3 + 7 = 4 \) — верно. Во второе уравнение: \( (-3)^2 + (-3) \cdot 3{,}5 — 3{,}5 = 9 — 10{,}5 — 3{,}5 = -5 \) — верно. Оба решения удовлетворяют исходной системе уравнений.
Решением системы являются две пары значений: \( (-2; 3) \) и \( (-3; 3{,}5) \).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!