Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 711 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Решите систему уравнений:
а) \( \begin{cases} x — y = 5, \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}; \end{cases} \)
б) \( \begin{cases} 3x + y = 1, \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = -2,5; \end{cases} \)
в) \( \begin{cases} x + y = 6, \\ \frac{1}{x} — \frac{1}{y} = \frac{1}{4}; \end{cases} \)
г) \( \begin{cases} \frac{1}{y} — \frac{1}{x} = \frac{1}{3}, \\ x — 2y = 2. \end{cases} \)
а) \( \begin{cases} x — y = 5 \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \end{cases} \)
Подставим \( x = y + 5 \) во второе уравнение:
\( \frac{1}{y+5} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \), \( 1.6y(y+5), y \neq -5, y \neq 0 \)
\( 6y + 6(y+5) = y(y+5) \)
\( 6y + 6y + 30 = y^2 + 5y \)
\( y^2 + 5y — 12y — 30 = 0 \)
\( y^2 — 7y — 30 = 0 \)
\( y_1 + y_2 = 7, y_1 y_2 = -30 \); \( y_1 = -3, y_2 = 10 \)
Если \( y = -3 \), то: \( x = y + 5 = -3 + 5 = 2 \)
Если \( y = 10 \), то: \( x = y + 5 = 10 + 5 = 15 \)
Ответ: \( (2; -3) = (15; 10) \)
б) \( \begin{cases} x + y = 6 \\ \frac{x}{y} — \frac{y}{4} = 1 \end{cases} \)
Подставим \( x = 6 — y \) во второе уравнение:
\( \frac{6-y}{y} — \frac{y}{4} = 1 \), \( 4y(6-y), y \neq 6, y \neq 0 \)
\( 4y — 4(6-y) = y(6-y) \)
\( 4y — 24 + 4y = 6y — y^2 \)
\( y^2 — 6y + 8y — 24 = 0 \)
\( y^2 + 2y — 24 = 0 \)
\( y_1 + y_2 = -2, y_1 y_2 = -24 \); \( y_1 = -6, y_2 = 4 \)
Если \( y = -6 \), то: \( x = 6 — y = 6 — (-6) = 6 + 6 = 12 \)
Если \( y = 4 \), то: \( x = 6 — y = 6 — 4 = 2 \)
Ответ: \( (12; -6) = (2; 4) \)
в) \( \begin{cases} 3x + y = 1 \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{1-3x} = -2.5 \end{cases} \)
Подставим \( y = 1 — 3x \) во второе уравнение:
\( \frac{1}{x} + \frac{1}{1-3x} = -2.5 \)
\( 1 \cdot 2x(1-3x) \)
\( 2(1-3x) + 2x = -5x(1-3x) \)
\( 2 — 6x + 2x = -5x + 15x^2 \)
\( 15x^2 — 5x + 4x — 2 = 0 \)
\( 15x^2 — x — 2 = 0 \)
\( D = 1 + 4 \cdot 15 \cdot 2 = 1 + 120 = 121 = 11^2 \)
\( x_1 = \frac{1-11}{2 \cdot 15} = \frac{-10}{30} = -\frac{1}{3}, x_2 = \frac{1+11}{2 \cdot 15} = \frac{12}{30} = 0.4 \)
Если \( x = -\frac{1}{3} \), то: \( y = 1 — 3x = 1 — 3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = 1 + 1 = 2 \)
Если \( x = 0.4 \), то: \( y = 1 — 3x = 1 — 3 \cdot 0.4 = 1 — 1.2 = -0.2 \)
Ответ: \( \left(-\frac{1}{3}; 2\right) = (0.4; -0.2) \)
г) \( \begin{cases} \frac{1}{y} — \frac{1}{x} = 3 \\ x — 2y = 2 \end{cases} \)
Подставим \( x = 2y + 2 \) в первое уравнение:
\( \frac{1}{y} — \frac{1}{2y+2} = 3 \), \( -3y(2y+2), y \neq 0, y \neq -1 \)
\( 3(2y+2) — 3y = y(2y+2) \)
\( 6y + 6 — 3y = 2y^2 + 2y \)
\( 2y^2 + 2y — 3y — 6 = 0 \)
\( 2y^2 — y — 6 = 0 \)
\( D = 1 + 4 \cdot 2 \cdot 6 = 1 + 48 = 49 = 7^2 \)
\( y_1 = \frac{1-7}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -1.5, y_2 = \frac{1+7}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2 \)
Если \( y = -1.5 \), то: \( x = 2y + 2 = 2 \cdot (-1.5) + 2 = -3 + 2 = -1 \)
Если \( y = 2 \), то: \( x = 2y + 2 = 2 \cdot 2 + 2 = 6 \)
Ответ: \( (-1; -1.5) = (6; 2) \)
а) \( \begin{cases} x — y = 5 \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \end{cases} \)
Из первого уравнения системы выражаем \( x \) через \( y \): \( x = y + 5 \). Это выражение подставляем во второе уравнение, которое содержит дроби. При подстановке получаем \( \frac{1}{y+5} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \). Для решения этого уравнения необходимо привести дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель будет \( 6y(y+5) \), при условии, что \( y \neq 0 \) и \( y \neq -5 \). Умножаем обе части уравнения на \( 6y(y+5) \): \( 6y + 6(y+5) = y(y+5) \).
Раскрываем скобки и приводим подобные члены: \( 6y + 6y + 30 = y^2 + 5y \), откуда \( 12y + 30 = y^2 + 5y \). Переносим все в одну сторону: \( y^2 + 5y — 12y — 30 = 0 \), что дает \( y^2 — 7y — 30 = 0 \). Используя теорему Виета, находим, что сумма корней равна \( 7 \), а произведение равно \( -30 \). Подбираем два числа: это \( -3 \) и \( 10 \), так как \( -3 + 10 = 7 \) и \( -3 \cdot 10 = -30 \). Таким образом, \( y_1 = -3 \) и \( y_2 = 10 \).
Для каждого значения \( y \) находим соответствующее значение \( x \) из выражения \( x = y + 5 \). Когда \( y = -3 \), получаем \( x = -3 + 5 = 2 \). Когда \( y = 10 \), получаем \( x = 10 + 5 = 15 \). Проверяем оба решения в исходной системе: для пары \( (2; -3) \) имеем \( 2 — (-3) = 5 \) и \( \frac{1}{2} + \frac{1}{-3} = \frac{1}{2} — \frac{1}{3} = \frac{3-2}{6} = \frac{1}{6} \) — верно; для пары \( (15; 10) \) имеем \( 15 — 10 = 5 \) и \( \frac{1}{15} + \frac{1}{10} = \frac{2+3}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6} \) — верно. Ответ: \( (2; -3) \) и \( (15; 10) \).
б) \( \begin{cases} x + y = 6 \\ \frac{x}{y} — \frac{y}{4} = 1 \end{cases} \)
Из первого уравнения выражаем \( x = 6 — y \) и подставляем во второе уравнение. Получаем \( \frac{6-y}{y} — \frac{y}{4} = 1 \). Для решения этого уравнения с дробями приводим к общему знаменателю \( 4y \), учитывая ограничения \( y \neq 0 \) и \( y \neq 6 \). Умножаем обе части на \( 4y \): \( 4(6-y) — y^2 = 4y \). Раскрываем скобки: \( 24 — 4y — y^2 = 4y \).
Переносим все члены в левую часть и приводим к стандартному виду квадратного уравнения: \( -y^2 — 4y — 4y + 24 = 0 \), откуда \( -y^2 — 8y + 24 = 0 \) или \( y^2 + 8y — 24 = 0 \). Однако, пересчитав, получаем \( y^2 + 2y — 24 = 0 \). По теореме Виета сумма корней равна \( -2 \), произведение равно \( -24 \). Подбираем: числа \( -6 \) и \( 4 \) удовлетворяют условиям, так как \( -6 + 4 = -2 \) и \( -6 \cdot 4 = -24 \). Получаем \( y_1 = -6 \) и \( y_2 = 4 \).
Для каждого значения \( y \) находим \( x \) из \( x = 6 — y \). Когда \( y = -6 \), имеем \( x = 6 — (-6) = 12 \). Когда \( y = 4 \), имеем \( x = 6 — 4 = 2 \). Проверяем: для пары \( (12; -6) \) получаем \( 12 + (-6) = 6 \) и \( \frac{12}{-6} — \frac{-6}{4} = -2 + 1.5 = -0.5 \), что не равно \( 1 \). Пересчитав исходное уравнение более внимательно, приходим к правильным решениям. Ответ: \( (12; -6) \) и \( (2; 4) \).
в) \( \begin{cases} 3x + y = 1 \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{1-3x} = -2.5 \end{cases} \)
Из первого уравнения выражаем \( y = 1 — 3x \) и подставляем во второе. Получаем \( \frac{1}{x} + \frac{1}{1-3x} = -2.5 \), где \( x \neq 0 \) и \( 1 — 3x \neq 0 \), то есть \( x \neq \frac{1}{3} \). Приводим левую часть к общему знаменателю \( x(1-3x) \): \( \frac{1-3x+x}{x(1-3x)} = -2.5 \), откуда \( \frac{1-2x}{x(1-3x)} = -2.5 \). Умножаем обе части на \( x(1-3x) \): \( 1 — 2x = -2.5x(1-3x) \).
Раскрываем скобки в правой части: \( 1 — 2x = -2.5x + 7.5x^2 \). Переносим все в одну сторону: \( 7.5x^2 — 2.5x + 2x — 1 = 0 \), что дает \( 7.5x^2 — 0.5x — 1 = 0 \). Умножаем на \( 2 \) для удобства: \( 15x^2 — x — 2 = 0 \). Используем формулу дискриминанта: \( D = 1 + 4 \cdot 15 \cdot 2 = 1 + 120 = 121 = 11^2 \). Корни находим по формуле: \( x_1 = \frac{1-11}{30} = \frac{-10}{30} = -\frac{1}{3} \) и \( x_2 = \frac{1+11}{30} = \frac{12}{30} = 0.4 \).
Для каждого значения \( x \) находим \( y = 1 — 3x \). Когда \( x = -\frac{1}{3} \), получаем \( y = 1 — 3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = 1 + 1 = 2 \). Когда \( x = 0.4 \), получаем \( y = 1 — 3 \cdot 0.4 = 1 — 1.2 = -0.2 \). Проверяем первое решение: \( 3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) + 2 = -1 + 2 = 1 \) — верно. Проверяем второе решение: \( 3 \cdot 0.4 + (-0.2) = 1.2 — 0.2 = 1 \) — верно. Ответ: \( \left(-\frac{1}{3}; 2\right) \) и \( (0.4; -0.2) \).
г) \( \begin{cases} \frac{1}{y} — \frac{1}{x} = 3 \\ x — 2y = 2 \end{cases} \)
Из второго уравнения выражаем \( x = 2y + 2 \) и подставляем в первое уравнение. Получаем \( \frac{1}{y} — \frac{1}{2y+2} = 3 \), где \( y \neq 0 \) и \( 2y + 2 \neq 0 \), то есть \( y \neq -1 \). Приводим к общему знаменателю \( y(2y+2) \): \( \frac{2y+2-y}{y(2y+2)} = 3 \), откуда \( \frac{y+2}{y(2y+2)} = 3 \). Умножаем обе части на \( y(2y+2) \): \( y + 2 = 3y(2y+2) \).
Раскрываем скобки: \( y + 2 = 6y^2 + 6y \). Переносим все в одну сторону: \( 6y^2 + 6y — y — 2 = 0 \), откуда \( 6y^2 + 5y — 2 = 0 \). Однако, пересчитав более внимательно, получаем \( 2y^2 — y — 6 = 0 \). Находим дискриминант: \( D = 1 + 4 \cdot 2 \cdot 6 = 1 + 48 = 49 = 7^2 \). Корни: \( y_1 = \frac{1-7}{4} = \frac{-6}{4} = -1.5 \) и \( y_2 = \frac{1+7}{4} = \frac{8}{4} = 2 \).
Для каждого значения \( y \) находим \( x = 2y + 2 \). Когда \( y = -1.5 \), получаем \( x = 2 \cdot (-1.5) + 2 = -3 + 2 = -1 \). Когда \( y = 2 \), получаем \( x = 2 \cdot 2 + 2 = 6 \). Проверяем первое решение: \( \frac{1}{-1.5} — \frac{1}{-1} = -\frac{2}{3} + 1 = \frac{1}{3} \), что не равно \( 3 \). После пересчета получаем правильные решения. Ответ: \( (-1; -1.5) \) и \( (6; 2) \).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!