Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 712 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Не выполняя построения:
а) определите, пересекает ли парабола \( y = x^2 — 8x + 16 \) прямую \( 2x — 3y = 0 \) и если да, то в каких точках;
б) найдите координаты точек пересечения с осями координат графика функции \( y = 2x^2 + 9x — 5 \).
а) Чтобы определить, пересекает ли парабола прямую, нужно решить систему уравнений:
\( \begin{cases} y = x^2 — 8x + 16 \\ 2x — 3y = 0 \end{cases} \)
Подставим \( y = \frac{2}{3}x \) в первое уравнение:
\( \frac{2}{3}x = x^2 — 8x + 16 \) | · 3
\( 2x = 3x^2 — 24x + 48 \)
\( 3x^2 — 24x — 2x + 48 = 0 \)
\( 3x^2 — 26x + 48 = 0 \)
\( D = 676 — 4 \cdot 3 \cdot 48 = 676 — 576 = 100 = 10^2 \)
\( x_1 = \frac{26 — 10}{2 \cdot 3} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}; \quad x_2 = \frac{26 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{36}{6} = 6 \)
Если \( x = 2\frac{2}{3} \), то: \( y = \frac{2}{3}x = \frac{2}{3} \cdot \frac{8}{3} = \frac{16}{9} = 1\frac{7}{9} \)
Если \( x = 6 \), то: \( y = \frac{2}{3}x = \frac{2}{3} \cdot 6 = 2 \cdot 2 = 4 \)
Следовательно, парабола пересекает прямую в точках \( \left(2\frac{2}{3}; 1\frac{7}{9}\right) \) и \( (6; 4) \).
Ответ: \( \left(2\frac{2}{3}; 1\frac{7}{9}\right) \) и \( (6; 4) \).
б) График функции пересекает ось \( y \) при \( x = 0 \). Тогда:
\( y = 2x^2 + 9x — 5 = 2 \cdot 0^2 + 9 \cdot 0 — 5 = -5 \)
График функции пересекает ось \( x \) при \( y = 0 \). Тогда:
\( 2x^2 + 9x — 5 = 0 \)
\( D = 81 + 4 \cdot 2 \cdot 5 = 81 + 40 = 121 = 11^2 \)
\( x_1 = \frac{-9 — 11}{2 \cdot 2} = \frac{-20}{4} = -5; \quad x_2 = \frac{-9 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0{,}5 \)
Таким образом, график функции пересекается с осями координат в точках \( (0; -5) \), \( (-5; 0) \), \( (0{,}5; 0) \).
Ответ: \( (0; -5) \), \( (-5; 0) \), \( (0{,}5; 0) \).
а) Чтобы определить, пересекает ли парабола прямую, необходимо решить систему уравнений, в которой одно уравнение описывает параболу, а другое — прямую. Система имеет вид: \( \begin{cases} y = x^2 — 8x + 16 \\ 2x — 3y = 0 \end{cases} \). Из второго уравнения выражаем переменную \( y \) через \( x \): \( 2x — 3y = 0 \) означает, что \( 3y = 2x \), откуда получаем \( y = \frac{2}{3}x \). Это выражение подставляем в первое уравнение параболы, чтобы найти абсциссы точек пересечения.
Подставляя \( y = \frac{2}{3}x \) в уравнение параболы, получаем: \( \frac{2}{3}x = x^2 — 8x + 16 \). Для удобства умножаем обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от дроби: \( 2x = 3x^2 — 24x + 48 \). Перенося все члены в левую часть, получаем: \( 3x^2 — 24x — 2x + 48 = 0 \), что упрощается до \( 3x^2 — 26x + 48 = 0 \). Это квадратное уравнение решаем через дискриминант: \( D = b^2 — 4ac = (-26)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 48 = 676 — 576 = 100 = 10^2 \). Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два различных действительных корня.
Корни квадратного уравнения находим по формуле: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \). Первый корень: \( x_1 = \frac{26 — 10}{2 \cdot 3} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \). Второй корень: \( x_2 = \frac{26 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{36}{6} = 6 \). Теперь для каждого значения \( x \) находим соответствующее значение \( y \) по формуле \( y = \frac{2}{3}x \). Для первого корня: \( y_1 = \frac{2}{3} \cdot \frac{8}{3} = \frac{16}{9} = 1\frac{7}{9} \). Для второго корня: \( y_2 = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4 \). Таким образом, парабола пересекает прямую в двух точках: \( \left(2\frac{2}{3}; 1\frac{7}{9}\right) \) и \( (6; 4) \).
б) Для нахождения точек пересечения графика функции \( y = 2x^2 + 9x — 5 \) с осями координат необходимо рассмотреть два случая: пересечение с осью \( y \) и пересечение с осью \( x \). Пересечение с осью \( y \) происходит при \( x = 0 \). Подставляя это значение в уравнение функции, получаем: \( y = 2 \cdot 0^2 + 9 \cdot 0 — 5 = -5 \). Следовательно, график пересекает ось \( y \) в точке \( (0; -5) \). Это означает, что функция имеет отрицательное значение в начале координат.
Пересечение с осью \( x \) происходит при \( y = 0 \). Для нахождения этих точек решаем уравнение: \( 2x^2 + 9x — 5 = 0 \). Используя формулу дискриминанта, вычисляем: \( D = b^2 — 4ac = 9^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121 = 11^2 \). Дискриминант является полным квадратом, что гарантирует наличие двух различных действительных корней. По формуле корней квадратного уравнения находим: \( x_1 = \frac{-9 — 11}{2 \cdot 2} = \frac{-20}{4} = -5 \) и \( x_2 = \frac{-9 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0{,}5 \).
Таким образом, график функции \( y = 2x^2 + 9x — 5 \) пересекается с осью \( x \) в точках \( (-5; 0) \) и \( (0{,}5; 0) \). Объединяя результаты обоих случаев, получаем, что график функции пересекается с осями координат в трёх точках: \( (0; -5) \), \( (-5; 0) \) и \( (0{,}5; 0) \). Первая точка показывает, где парабола пересекает вертикальную ось, а две остальные точки показывают, где парабола пересекает горизонтальную ось. Эти точки полностью описывают поведение функции в окрестности начала координат.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!