Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 713 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Докажите, что прямая \( x — y = 4 \) имеет одну общую точку с параболой \( y = x^2 — 5x + 5 \), и найдите координаты этой общей точки.
Подставим \( y = x — 4 \) во второе уравнение:
\( x — 4 = x^2 — 5x + 5 \)
\( x^2 — 5x + 5 — x + 4 = 0 \)
\( x^2 — 6x + 9 = 0 \)
\( (x — 3)^2 = 0 \)
\( x — 3 = 0 \)
\( x = 3 \)
Тогда:
\( y = x — 4 = 3 — 4 = -1 \)
Прямая \( x — y = 4 \) имеет одну общую точку с параболой \( y = x^2 — 5x + 5 \), потому что уравнение \( x^2 — 6x + 9 = 0 \) имеет единственный корень.
Графики пересекаются в точке \( (3; -1) \).
Ответ: \( (3; -1) \)
Для решения данной системы уравнений необходимо найти точки пересечения прямой и параболы. Система состоит из двух уравнений: линейного \( x — y = 4 \) и квадратичного \( y = x^2 — 5x + 5 \). Метод решения заключается в подстановке выражения для \( y \) из первого уравнения во второе уравнение, что позволит получить квадратное уравнение относительно переменной \( x \).
Из первого уравнения системы выражаем переменную \( y \): \( y = x — 4 \). Это выражение представляет собой уравнение прямой линии с угловым коэффициентом, равным единице, и смещением вниз на четыре единицы. Теперь подставляем полученное выражение \( y = x — 4 \) во второе уравнение системы вместо переменной \( y \): \( x — 4 = x^2 — 5x + 5 \). Это действие приводит к получению одного уравнения с одной неизвестной, которое мы можем решить.
Преобразуем полученное уравнение, перенося все члены в левую часть: \( x — 4 = x^2 — 5x + 5 \) \Rightarrow \( x^2 — 5x + 5 — x + 4 = 0 \). Приводим подобные члены: \( x^2 — 5x — x + 5 + 4 = 0 \) \Rightarrow \( x^2 — 6x + 9 = 0 \). Заметим, что левая часть этого уравнения является полным квадратом: \( (x — 3)^2 = 0 \). Это означает, что уравнение имеет один корень кратности два, то есть \( x — 3 = 0 \), откуда \( x = 3 \).
Найденное значение \( x = 3 \) подставляем в выражение \( y = x — 4 \) для определения соответствующего значения переменной \( y \): \( y = 3 — 4 = -1 \). Таким образом, координаты точки пересечения прямой и параболы составляют \( (3; -1) \). Проверим полученный результат, подставив координаты в оба исходных уравнения: для первого уравнения \( 3 — (-1) = 3 + 1 = 4 \) — верно; для второго уравнения \( y = 3^2 — 5 \cdot 3 + 5 = 9 — 15 + 5 = -1 \) — верно.
Геометрический смысл полученного результата состоит в том, что прямая \( x — y = 4 \) и парабола \( y = x^2 — 5x + 5 \) имеют ровно одну общую точку, что означает, что прямая касается параболы. Это подтверждается тем фактом, что квадратное уравнение \( x^2 — 6x + 9 = 0 \) имеет единственный корень (дискриминант равен нулю: \( D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 — 36 = 0 \)). Точка касания имеет координаты \( (3; -1) \), в которой обе кривые соприкасаются и имеют одинаковый наклон касательной.
Графики пересекаются в точке \( (3; -1) \).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!