ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 713 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что прямая \( x — y = 4 \) имеет одну общую точку с параболой \( y = x^2 — 5x + 5 \), и найдите координаты этой общей точки.

Подставим \( y = x — 4 \) во второе уравнение:

\( x — 4 = x^2 — 5x + 5 \)

\( x^2 — 5x + 5 — x + 4 = 0 \)

\( x^2 — 6x + 9 = 0 \)

\( (x — 3)^2 = 0 \)

\( x — 3 = 0 \)

\( x = 3 \)

Тогда:

\( y = x — 4 = 3 — 4 = -1 \)

Прямая \( x — y = 4 \) имеет одну общую точку с параболой \( y = x^2 — 5x + 5 \), потому что уравнение \( x^2 — 6x + 9 = 0 \) имеет единственный корень.

Графики пересекаются в точке \( (3; -1) \).

Ответ: \( (3; -1) \)

Для решения данной системы уравнений необходимо найти точки пересечения прямой и параболы. Система состоит из двух уравнений: линейного \( x — y = 4 \) и квадратичного \( y = x^2 — 5x + 5 \). Метод решения заключается в подстановке выражения для \( y \) из первого уравнения во второе уравнение, что позволит получить квадратное уравнение относительно переменной \( x \).

Из первого уравнения системы выражаем переменную \( y \): \( y = x — 4 \). Это выражение представляет собой уравнение прямой линии с угловым коэффициентом, равным единице, и смещением вниз на четыре единицы. Теперь подставляем полученное выражение \( y = x — 4 \) во второе уравнение системы вместо переменной \( y \): \( x — 4 = x^2 — 5x + 5 \). Это действие приводит к получению одного уравнения с одной неизвестной, которое мы можем решить.

Преобразуем полученное уравнение, перенося все члены в левую часть: \( x — 4 = x^2 — 5x + 5 \) \Rightarrow \( x^2 — 5x + 5 — x + 4 = 0 \). Приводим подобные члены: \( x^2 — 5x — x + 5 + 4 = 0 \) \Rightarrow \( x^2 — 6x + 9 = 0 \). Заметим, что левая часть этого уравнения является полным квадратом: \( (x — 3)^2 = 0 \). Это означает, что уравнение имеет один корень кратности два, то есть \( x — 3 = 0 \), откуда \( x = 3 \).

Найденное значение \( x = 3 \) подставляем в выражение \( y = x — 4 \) для определения соответствующего значения переменной \( y \): \( y = 3 — 4 = -1 \). Таким образом, координаты точки пересечения прямой и параболы составляют \( (3; -1) \). Проверим полученный результат, подставив координаты в оба исходных уравнения: для первого уравнения \( 3 — (-1) = 3 + 1 = 4 \) — верно; для второго уравнения \( y = 3^2 — 5 \cdot 3 + 5 = 9 — 15 + 5 = -1 \) — верно.

Геометрический смысл полученного результата состоит в том, что прямая \( x — y = 4 \) и парабола \( y = x^2 — 5x + 5 \) имеют ровно одну общую точку, что означает, что прямая касается параболы. Это подтверждается тем фактом, что квадратное уравнение \( x^2 — 6x + 9 = 0 \) имеет единственный корень (дискриминант равен нулю: \( D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 — 36 = 0 \)). Точка касания имеет координаты \( (3; -1) \), в которой обе кривые соприкасаются и имеют одинаковый наклон касательной.

Графики пересекаются в точке \( (3; -1) \).